[Giải tích II] Tôi *luôn luôn* cần phải đổi cận khi tôi tích phân bằng cách sử dụng thế hàm lượng giác à?

Xong, chắc vậy.

Đây là đoạn cuối của ví dụ 6 trong 7.3 của Sách Giải Tích của Stewart. Tôi cố gắng làm những ví dụ này mà không nhìn vào lời giải trước. Hy vọng cái này đọc được...

Tích phân ban đầu là một mớ hỗn độn. Nó là

[tích phân từ 0 đến 3√3/2] x^3 / (4x^2 + 9)

Giới hạn đã thay đổi trong quá trình thế lượng giác. Tôi đã làm mọi thứ đúng cho đến thời điểm này:

3/16 * [tích phân từ 0 đến pi/3] tan(t)^3/sec(t) dt = 3/16 sin(t)^3 / cos(t)^2 dt = 3/16 sin(t)(1 - cos(t)^2) / cos(t) ^2 dt u = cos(t); -du = sin(t) dt Đã chỉnh sửa để sửa lỗi thiếu (t) ở mọi nơi.

Lưu ý: Mọi thứ sau điểm này đều sai vì tôi đã không thay đổi giới hạn lần thứ hai. Chỉnh sửa để rõ ràng hơn: Tôi đã quay lại theta với các giới hạn của theta, tôi đã không cố gắng giải cho u với các giới hạn của theta.

-3/16 [tích phân từ 0 đến pi/3] 1/u^2 - u^2/u^2 du = -3/16 * (-t - 1/cos(t)) | tính từ 0 đến pi/3

Nếu tôi tính toán cái này, tôi sẽ nhận được một câu trả lời vô nghĩa:

-3/16 [ (-1/cos(pi/3) - pi/3) - (-1 - 0) ] = -3/16 [-2 - pi/3 + 1] = -3/16 [-1 - pi/3] = (-pi - 1) /16

Ví dụ, tôi có thể ước lượng hàm số chỉ bằng cách vẽ tan2 sinx trong Wolfram Alpha và thấy rằng diện tích của tôi sẽ vào khoảng 0.1. Cái này là 0.2588, nên còn xa lắm.

Phương pháp đúng là thay đổi lại giới hạn tại thời điểm thế u và sau đó giải cho u:

cos(pi/3) = 1/2; cos(0) = 1. (Tích phân sẽ bị "ngược", nên tất cả các dấu sẽ bị đảo) = -3/16 [tích phân từ 1 đến 1/2] 1/u^2 - 1 = 3/16 1/u - u tính tại 1/2 và 1 = 3/16 [(1/2 + 2) - (1 + 1)] = 3/16 * 1/2 = 3/32

Vì vậy, rõ ràng 3/32 là câu trả lời đúng.

Câu hỏi của tôi là: Tại sao? Tôi chưa gặp một ví dụ nào khác mà thế u mà không thay đổi giới hạn lại cho một câu trả lời hoàn toàn khác, và việc gỡ rối các giới hạn đến các giới hạn của hàm ban đầu - sau một vòng thế ban đầu và thay đổi giới hạn - đi ngược lại sự hiểu biết của tôi về quy tắc thế. Nhưng đây thực sự là chương đầu tiên có nhiều vòng thế.

Vậy hãy nói rằng tôi muốn một quy tắc chung về thời điểm thay đổi giới hạn hoặc gỡ rối chúng đến đâu, nếu vì lý do nào đó tôi không muốn tiếp tục thay đổi chúng trong suốt bài toán.

Tôi có nên gỡ rối chúng chỉ đến bước mà tôi đã thực hiện phép thế gần đây nhất không? Điều đó có luôn sai không?

Hoặc tôi luôn gỡ rối chúng đến các giới hạn ban đầu? Và nếu tôi có thể làm điều đó, thì việc thay đổi các giới hạn khi tôi làm có ích lợi gì? - Điều đó có vẻ như chỉ là một cơ hội khác để mắc sai lầm.