Các Dạng Bài Tập Trả Lời Ngắn Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
Các dạng bài tập trả lời ngắn về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$int {{x^alpha }dx = frac{{{x^{alpha + 1}}}}{{alpha + 1}}} + C$ với $alpha ne - 1$;
$int {kdx = k} x + C$;
$int {kf(x)dx = k} int {f(x)dx} $;
$int {left( {f(x) + g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} + int {g(x)dx} $;
$int {left( {f(x) - g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} - int {g(x)dx} $.
Câu 1. Biết $Fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx$là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 3{x^2} + 2x - 6$. Khi đó giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {3{x^2} + 2x - 6} right)dx} = {x^3} + {x^2} - 6x + C$
Vậy $a + b + c = 1 + 1 + ( - 6) = - 4$
Câu 2. Cho hàm số $fleft( x right) = - frac{1}{{{x^6}}} + frac{1}{{{x^7}}}$. Nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $f(x)$ là $Fleft( x right) = frac{1}{{a{x^5}}} + frac{1}{{b{x^6}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b$.
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( { - frac{1}{{{x^6}}} + frac{1}{{{x^7}}}} right)dx} $
$ = int {left( { - {x^{ - 6}} + {x^{ - 7}}} right)dx} = - frac{{{x^{ - 5}}}}{{ - 5}} + frac{{{x^{ - 6}}}}{{ - 6}} = frac{1}{{5{x^5}}} + frac{1}{{ - 6{x^6}}}$
Vậy $a + b = 5 - 6 = - 1$
Câu 3. Biết $Fleft( x right) = a.frac{1}{{{x^5}}} + b.frac{1}{{{x^6}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{5}{{{x^6}}} + frac{2}{{{x^7}}}$. Khi đó giá trị $a + 12b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {frac{5}{{{x^6}}} + frac{2}{{{x^7}}}} right)dx} $
$ = int {left( {5{x^{ - 6}} + 2{x^{ - 7}}} right)dx} = 5.frac{{{x^{ - 5}}}}{{ - 5}} + 2.frac{{{x^{ - 6}}}}{{ - 6}} + C = - frac{1}{{{x^5}}} - frac{1}{{3{x^6}}}$
Vậy $a + 12b = - 1 + 12.left( { - frac{1}{3}} right) = - 5$
Câu 4. Cho hàm số $fleft( x right) = sqrt x + sqrt[3]{x}$. Nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $f(x)$ là $Fleft( x right) = a.sqrt {{x^3}} + b.sqrt[3]{{{x^4}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $3a + 4b$.
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {sqrt x + sqrt[3]{x}} right)dx} $
$ = int {left( {{x^{frac{1}{2}}} + {x^{frac{1}{3}}}} right)dx} = frac{{{x^{frac{1}{2} + 1}}}}{{frac{1}{2} + 1}} + frac{{{x^{frac{1}{3} + 1}}}}{{frac{1}{3} + 1}} + C$
$ = frac{{{x^{frac{3}{2}}}}}{{frac{3}{2}}} + frac{{{x^{frac{4}{3}}}}}{{frac{4}{3}}} + C = frac{2}{3}sqrt {{x^3}} + frac{3}{4}sqrt[3]{{{x^4}}} + C$
Vậy $3a + 4b = 2 + 3 = 5$
Câu 5. Tìm nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $fleft( x right) = frac{2}{{sqrt x }} + {3^x} + 3x - 2$ ta được $Fleft( x right) = asqrt x + frac{{{3^x}}}{{ln b}} + c{x^2} + dx + C$. Tính $a + b + 2c + d$.
Lời giải
$int {left( {frac{2}{{sqrt x }} + {3^x} + 3x - 2} right)dx} = 4sqrt x + frac{{{3^x}}}{{ln 3}} + frac{3}{2}{x^2} - 2x + C$
Vậy $a + b + 2c + d = 4 + 3 + 3 + ( - 2) = 8$
Câu 6. Biết $Fleft( x right) = a.sqrt x + b.sqrt[3]{{{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{2}{{sqrt x }} + frac{6}{{sqrt[3]{x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {frac{2}{{sqrt x }} + frac{6}{{sqrt[3]{x}}}} right)dx} = int {left( {frac{2}{{{x^{frac{1}{2}}}}} + frac{6}{{{x^{frac{1}{3}}}}}} right)dx} $
$ = int {left( {2{x^{ - frac{1}{2}}} + 6{x^{ - frac{1}{3}}}} right)dx} = 2.frac{{{x^{frac{1}{2}}}}}{{frac{1}{2}}} + 6.frac{{{x^{frac{2}{3}}}}}{{frac{2}{3}}} + C$
$ = 4{x^{frac{1}{2}}} + 9{x^{frac{2}{3}}} + C = 4sqrt x + 9sqrt[3]{{{x^2}}} + C$
Vậy $a + b = 4 + 9 = 13$
Câu 7. Biết $Fleft( x right) = a{x^2} + bx + cln left| x right|$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = frac{{{{left( {3x - 5} right)}^2}}}{x}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {f(x)dx} = int {left( {frac{{{{left( {3x - 5} right)}^2}}}{x}} right)dx} = int {left( {frac{{9{x^2} - 30x + 25}}{x}} right)dx} $
$ = int {left( {9x - 30 + frac{{25}}{x}} right)dx} = frac{9}{2}{x^2} - 30x + 25ln left| x right| + C$
Vậy $2a + b + c = 9 - 30 + 25 = 4$.
Câu 8. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 3{x^2} + 4x$ và $F( - 1) = 2025$. Tính $F(1)$.
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {3{x^2} + 4x} right)dx} $
$ = 3.frac{{{x^3}}}{3} + 4.frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^3} + 2{x^2} + C$
Theo đề ta có $F( - 1) = 2025$
$ Leftrightarrow {left( { - 1} right)^3} + 2{left( { - 1} right)^2} + C = 2025 Leftrightarrow C = 2024$.
Suy ra, $F(x) = {x^3} + 2{x^2} + C = {x^3} + 2{x^2} + 2024$
Vậy $F(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2024 = 2027$
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$int {cosxdx = sin x} + C$; $int {cosleft( {ax + b} right)dx = frac{1}{a}sin left( {ax + b} right)} + C$;
$int {sin xdx = - cosx} + C$; $int {sin left( {ax + b} right)dx = - frac{1}{a}cosxleft( {ax + b} right)} + C$;
$int {frac{1}{{co{s^2}x}}dx = tan x} + C$;
$int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dx = - cot x} + C$;
Câu 9. Biết $Fleft( x right) = asin x + bcosx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5cos x + 7sin x$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {5cos x + 7sin x} right)} dx = 5sin x - 7cosx + C$
Vậy $a + b = 5 - 7 = - 2$
Câu 10. Biết $Fleft( x right) = atan x + bcot x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{3}{{{{cos }^2}x}} + frac{{11}}{{{{sin }^2}x}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {frac{3}{{{{cos }^2}x}} + frac{{11}}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx = 3tan x - 11cot x + C$
Vậy $a + b = 3 - 11 = - 8$.
Câu 11. Biết $Fleft( x right) = ax + bsin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2026 - 2{sin ^2}frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {2026 - 2{{sin }^2}frac{x}{2}} right)} dx = int {left( {2026 - 2.frac{{1 - cos x}}{2}} right)} dx$
$ = int {left( {2026 - left( {1 - cos x} right)} right)} dx = int {left( {2025 + cos x} right)} dx$
$ = 2025x - sin x + C$
Vậy $a + b = 2025 - 1 = 2024$.
Câu 12. Biết $Fleft( x right) = ax + bsin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2025 + 2co{s^2}frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {2025 + 2co{s^2}xfrac{x}{2}} right)} dx = int {left( {2025 + 2.frac{{1 + cos x}}{2}} right)} dx$
$ = int {left( {2026 + cos x} right)} dx = 2026x + sin x + C$
Vậy $a + b = 2026 + 1 = 2027$.
Câu 13. Biết $Fleft( x right) = acos3x + bsin frac{x}{9}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = sin 3x + cosfrac{x}{9}$. Khi đó giá trị $3a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {sin 3x + cosfrac{x}{9}} right)} dx$
$ = - frac{1}{3}cos3x + frac{1}{{frac{1}{9}}}sin frac{x}{9} + C = - frac{1}{3}cos3x + 9sin frac{x}{9} + C$
Vậy $3a + b = - 1 + 9 = 8$.
Câu 14. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 6sin x - 3cosx$ và $Fleft( {frac{pi }{2}} right) = 2025$. Tính$Fleft( { - frac{pi }{2}} right)$.
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {6sin x - 3cosx} right)dx} = - 6cosx - 3sin x + C$
Theo đề ta có $Fleft( {frac{pi }{2}} right) = 2025 Leftrightarrow - 6cosfrac{pi }{2} - 3sin frac{pi }{2} + C = 2025$
$ Leftrightarrow - 3 + C = 2025 Leftrightarrow C = 2028$.
Suy ra, $F(x) = - 6cosx - 3sin x + C = - 6cosx - 3sin x + 2028$
Vậy $Fleft( { - frac{pi }{2}} right) = - 6cosleft( { - frac{pi }{2}} right) - 3sin left( { - frac{pi }{2}} right) + 2028$
$ = 3 + 2028 = 2031$
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $int {{e^{ax + b}}dx = frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$int {{a^x}dx = frac{{{a^x}}}{{ln a}}} + C$
Câu 15. Biết $Fleft( x right) = a{e^x} + bx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5{e^x} + 7$. Khi đó giá trị $2a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {5{e^x} + 7} right)} dx$$ = 5{e^x} + 7x + C$
Vậy $2a + b = 2.5 + 7 = 17$.
Câu 16. Biết $Fleft( x right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {left( {{e^x} + 3} right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {{{left( {{e^x} + 3} right)}^2}} dx = int {left( {{e^{2x}} + 6{e^x} + 9} right)} dx = frac{1}{2}{e^{2x}} + 6{e^x} + 9x + C$
Vậy $2a + b + c = 2.frac{1}{2} + 6 + 9 = 16$.
Câu 17. Biết $Fleft( x right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {left( {3{e^x} - 2} right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {{{left( {3{e^x} - 2} right)}^2}} dx = int {left( {9{e^{2x}} - 12{e^x} + 4} right)} dx$
$ = frac{9}{2}{e^{2x}} - 12{e^x} + 4x + C$
Vậy $2a + b + c = 2.frac{9}{2} - 12 + 4 = 1$.
Câu 18. Biết $Fleft( x right) = ax + frac{b}{{{e^x}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}} right)} dx = int {left( {2 + frac{3}{{{e^x}}}} right)} dx$
$ = int {left( {2 + 3.{e^{ - x}}} right)} dx = 2x - 3.{e^{ - x}} + C = 2x - frac{3}{{{e^x}}} + C$
Vậy $a + b = 2 - 3 = - 1$.
Câu 19. Biết $Fleft( x right) = a.frac{{{7^x}}}{{ln 7}} + b.frac{{{2^x}}}{{ln 2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {{7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}} right)} dx = int {left( {{{7.7}^x} + {{2.2}^x}} right)} dx$
$ = 7.frac{{{7^x}}}{{ln 7}} + 2.frac{{{2^x}}}{{ln 2}} + C$
Vậy $a + b = 7 + 2 = 9$.
Câu 20. Biết $Fleft( x right) = frac{{{a^x}}}{b}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^x}{.7^x}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$Fleft( x right) = int {left( {{3^x}{{.7}^x}} right)} dx = int {{{21}^x}} dx = frac{{{{21}^x}}}{{ln 21}} + C$
Vậy $a + b = 21 + 21 = 42$.
Câu 21. Cho hàm số $fleft( x right) = {2^{3x}} + {7^{2x}}$. Nguyên hàm $Fleft( x right)$ của hàm số $f(x)$ là $Fleft( x right) = frac{{{a^x}}}{{bln 2}} + frac{{{m^x}}}{{nln 7}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b + m + n$.
Lời giải
$int {f(x)dx} = int {left( {{2^{3x}} + {7^{2x}}} right)dx} = int {left( {{8^x} + {{49}^x}} right)dx} $
$ = frac{{{8^x}}}{{ln 8}} + frac{{{{49}^x}}}{{ln 49}} + C = frac{{{8^x}}}{{ln 8}} + frac{{{{49}^x}}}{{ln 49}} + C$
$ = frac{{{8^x}}}{{ln {2^3}}} + frac{{{{49}^x}}}{{ln {7^2}}} + C = frac{{{8^x}}}{{3ln 2}} + frac{{{{49}^x}}}{{2ln 7}} + C$
Vậy $a + b + m + n = 8 + 3 + 49 + 2 = 62$
Câu 22. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {e^x} + frac{1}{{ln 2}}$ và $Fleft( {ln 2} right) = 15$. Tính $Fleft( 0 right)$
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {{e^x} + frac{1}{{ln 2}}} right)dx} = {e^x} + frac{1}{{ln 2}}.x + C$
Theo đề ta có $Fleft( {ln 2} right) = 15 Leftrightarrow {e^{ln 2}} - ln 2.frac{1}{{ln 2}} + C = 15$
$ Leftrightarrow 2 - operatorname{l} + C = 15 Leftrightarrow C = 14$
Suy ra, $F(x) = {e^x} + frac{1}{{ln 2}}.x + 14$
Vậy $F(0) = {e^0} + frac{1}{{ln 2}}.0 + 14 = 15$.
Câu 23. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 10{e^x} - 2x$ và $Fleft( {ln 5} right) = 2026$. Tính $Fleft( 0 right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {10{e^x} - 2x} right)dx} = 10{e^x} - {x^2} + C$
Theo đề ta có $Fleft( {ln 5} right) = 2026 Leftrightarrow 10{e^{ln 5}} - {ln ^2}5 + C = 2026$
$ Leftrightarrow 50 - {ln ^2}5 + C = 2026 Leftrightarrow C = 1976 + {ln ^2}5$.
Suy ra, $F(x) = 10{e^x} - {x^2} + 1976 + {ln ^2}5$
Vậy $F(x) = 10{e^0} - {0^2} + 1976 + {ln ^2}5 = 1989$
Câu 24. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = 2x + cosx + {e^x}$ và $Fleft( 0 right) = 2026$. Tính $Fleft( 1 right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left( {2x + cosx + {e^x}} right)dx} = {x^2} + sin x + {e^x} + C$
Theo đề ta có $Fleft( 0 right) = 2026 Leftrightarrow {0^2} + sin 0 + {e^0} + C = 2026$
$ Leftrightarrow 1 + C = 2026 Leftrightarrow C = 2025$
Suy ra, $F(x) = {x^2} + sin x + {e^x} + 2025$
Vậy $F(x) = {1^2} + sin 1 + {e^1} + 2025 = 2030$
Câu 25. Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = {left( {sin x - cosx} right)^2} + sin 2x + frac{3}{x} + {7^x}$ và $Fleft( {{e^3}} right) = 5$. Tính $Fleft( 1 right)$ (làm tròn đến hàng phần chục)
Lời giải
$F(x) = int {f(x)dx} = int {left[ {{{left( {sin x - cosx} right)}^2} + sin 2x + frac{3}{x} + {7^x}} right]dx} $
$ = int {left[ {{{sin }^2}x - 2sin xcos x + co{s^2}x + sin 2x + frac{3}{x} + 7} right]dx} $
$ = int {left[ {1 - sin 2x + sin 2x + frac{3}{x} + 7} right]dx} $
$ = int {left[ {8 + frac{3}{x}} right]dx = 8x + 3ln left| x right| + C} $
Theo đề ta có $Fleft( {{e^3}} right) = 5 Leftrightarrow 8{e^3} + 3ln left| {{e^3}} right| + C = 5$
$ Leftrightarrow 8{e^3} + 9 + C = 5 Leftrightarrow C = - 4 - 8{e^3}$
Suy ra, $F(x) = 8x + 3ln left| x right| - 4 - 8{e^3}$
Vậy $F(1) = 8.1 + 3ln left| 1 right| - 4 - 8{e^3} = 4 - 8{e^3} = - 156,7$.
Link nội dung: https://melodious.edu.vn/cac-dang-bai-nguyen-ham-a94093.html