Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong hình học mặt phẳng Oxy lớp 10 và hình học không gian Oxyz lớp 12 đều có dạng toán tìm khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Δ cho trước. Đây là dạng toán tương đối đơn giản, bạn chỉ cần nhớ chính xác công thức là làm tốt. Nếu bạn quên có thể xem lại lý thuyết bên dưới, đi kèm với nó là bài tập có lời giải chi tiết tương ứng

A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng

Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT

1. Cơ sở lý thuyết

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:

d(N; Δ) = $frac{{left| {A{x_0} + b{y_0} + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ (1)

Cho điểm M( xM; yN) và điểm N( xN; yN) . Khoảng cách hai điểm này là:

MN = $sqrt {{{left( {{x_M} - {x_N}} right)}^2} + {{left( {{y_M} - {y_N}} right)}^2}} $ (2)

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

2. Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: - x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q (2; 1) tới đường thẳng Δ.

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức (1):

d(N; Δ) = $frac{{left| { - 1.2 + 3.1 + 1} right|}}{{sqrt {{{left( { - 1} right)}^2} + {3^2}} }} = frac{{sqrt {10} }}{5}$

Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ: $frac{x}{3} - frac{y}{2} = 5$

Lời giải chi tiết

Ta đưa phương trình $frac{x}{3} - frac{y}{2} = 5$ <=> 2x - 3y = 30 <=> 2x - 3y - 30 = 0 (*)

Phương trình (*) là dạng tổng quát.

Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ dựa theo công thức (1). Thay số:

d(P; Δ) = $frac{{left| {2.1 + left( { - 3} right).1 - 30} right|}}{{sqrt {{2^2} + {{left( { - 3} right)}^2}} }}$ = 8,6

Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: $left{ begin{array}{l} x = 2t + 3 y = 3t + 1 end{array} right.$

Lời giải chi tiết

Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:

• Đường thẳng Δ đi qua điểm Q( 3; 1)
• Vecto chỉ phương là $overrightarrow u $ = ( 2; 3 ) nên vecto pháp tuyến là $overrightarrow n $ = ( 3; - 2 )

Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3(x - 3) - 2(y - 1) = 0 <=> 3x - 2y - 7 = 0

Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: d(P; Δ) = $frac{{left| {3.1 + left( { - 2} right).3 - 7} right|}}{{sqrt {{3^2} + {{left( { - 2} right)}^2}} }}$ = 2,77

B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Đây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT:

1. Cơ sở lý thuyết

Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( xN; yN; zN). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?

Phương pháp

• Bước 1. Tìm điểm M( x0; y0; z0) ∈ Δ
• Bước 2: Tìm vecto chỉ phương ${overrightarrow u }$ của Δ
• Bước 3: Vận dụng công thức d(N; Δ) = $frac{{left| {left[ {overrightarrow {MN} ,overrightarrow u } right]} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}}$

2. Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Một điểm A(1;1;1) không thuộc đường thẳng Δ: $frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Lời giải chi tiết

Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${vec u_Delta }$ = (1;2;1)

Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $overrightarrow {AB} $ = ( - 1;0; - 2) => $[overrightarrow {AB} ,vec u]$ = (4; - 1; - 2).

Khi này: d(A; Δ) = $frac{{left| {left[ {overrightarrow {AB} ,vec u} right]} right|}}{{|vec u|}} = frac{{sqrt {14} }}{2}.$

Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ: $frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A(1; 1; 1). Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?

Lời giải chi tiết

Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $A{M_{min }} = d(A;Delta ).$

Đường thẳng Δ: $frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${vec u_Delta }$ = (1;2;1).

Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $overrightarrow {AB} $ = ( - 1;0; - 2) => $[overrightarrow {AB} ,vec u]$ = (4; - 1; - 2).

Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d(A; Δ) = $frac{{left| {left[ {overrightarrow {AB} ,vec u} right]} right|}}{{|vec u|}} = frac{{sqrt {14} }}{2}$$Rightarrow A{M_{min }} = frac{{sqrt {14} }}{2}.$

Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $Delta :frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M( 1; 1; 1), N( 0 ; 1;-1) nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB

Lời giải chi tiết

Từ phương trình đường thẳng Δ: $Delta :frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${vec u_Delta }$ = (1; 2; 1)

Chọn điểm Q ( 2; 5; 1) ∈ Δ => $overrightarrow {MQ} $ = (1; 4; 0) => $left[ {overrightarrow {MQ} ,overrightarrow u } right]$ = (4; -1; - 2).

Lúc đó: d(M; Δ) = $frac{{left| {left[ {overrightarrow {MQ} ,vec u} right]} right|}}{{|vec u|}} = frac{{sqrt {14} }}{2}$

$ Rightarrow MP = frac{{sqrt {14} }}{2}.$

Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $sqrt {M{N^2} - M{P^2}} = frac{{sqrt 6 }}{2}$

Vậy $S = frac{1}{2}MP.PN = frac{{sqrt {21} }}{4}.$

Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập toanhoc.org để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.