Giải SGK Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Giải Toán 10 trang 59 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi mở đầu trang 59 Toán lớp 10: Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bāo di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí có toạ độ (14,1;106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?

Lời giải:

Gọi M (x; y) là vị trí của tâm bão tại thời điểm t giờ.

Tâm bão chuyển động đều từ A (13,8; 108,3) đến B (14,1;106,3).

Khi đó ta có: AM→=t12.AB→

⇔(x−13,8;y−108,3)=t12.(14,1−13,8;106,3−108,3)⇔(x−13,8;y−108,3)=t12.(0,3;−2)⇔{x−13,8=t40y−108,3=−t6⇔{x=13,8+t40y=108,3−t6

Vậy tại thời điểm t giờ, tâm bão ở vị trí M(13,8−t40;108,3−t6)

1. Tọa độ của vectơ

Giải Toán 10 trang 60 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 60 Toán lớp 10: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt OA→=i→ (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số −32. Hãy biểu thị mỗi vectơ OM→,ON→ theo vectơ i→.

Phương pháp giải:

+) a→=k.b→,(k>0)⇔ Vecto a→ và b→ cùng hướng, |a→|=k.|b→|(k>0)

+) a→=k.b→,(k<0)⇔ Vecto a→ và b→ ngược hướng, |a→|=−k.|b→|(k<0)

(b→≠0→)

Lời giải:

Dễ thấy:

vectơ OM→ cùng hướng với vectơ i→ và |OM→|=4=4|i→|

Do đó: OM→=4.i→

Tương tự, vectơ ON→ ngược hướng với vectơ i→ và |ON→|=32=32|i→|

Do đó: ON→=−32.i→

Giải Toán 10 trang 61 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 61 Toán lớp 10: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ OM→,ON→ theo các vectơ i→,j→.

b) Hãy biểu thị vectơ MN→ theo các vectơ OM→,ON→ từ đó biểu thị vectơ MN→ theo các vectơ i→,j→.

Phương pháp giải:

a) Quy tắc hình bình hành:

Tứ giác OAMB là hình bình hành thì OM→=OA→+OB→

b) Quy tắc hiệu: MN→=ON→−OM→

Lời giải:

Dựng hình bình hành OAMB và OCND như hình dưới:

Khi đó: OM→=OA→+OB→ và ON→=OC→+OD→.

Dễ thấy:

OA→=3i→;OB→=5j→ và OC→=−2i→;OD→=52j→

⇒{OM→=3i→+5j→ON→=−2i→+52j→

b) Ta có: MN→=ON→−OM→ (quy tắc hiệu)

⇒MN→=(−2i→+52j→)−(3i→+5j→)⇔MN→=(−2i→−3i→)+(52j→−5j→)⇔MN→=−5i→−52j→

Vậy MN→=−5i→−52j→

Luyện tập 1 trang 61 Toán lớp 10: Tìm tọa độ của 0→

Lời giải:

Vì: 0→=0.i→+0.j→ nên 0→ có tọa độ là (0;0).

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

HĐ3 trang 61 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u→=(2;−3),v→=(4;1),a→=(8;−12)

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ u→,v→,a→ theo các vectơ i→,j→

b) Tìm tọa độ của các vectơ u→+v→,4.u→

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ u→,a→

Phương pháp giải:

a) Vectơ a→ có tọa độ (x;y) thì a→=x.i→+y.j→

b)

Bước 1: Tính u→+v→,4.u→ theo các vectơ i→,j→

Bước 2: Suy ra tọa độ của các vectơ u→+v→,4.u→

c)

Quan sát biểu thị theo các vectơ i→,j→ của các vectơ u→,a→ để suy ra mối liên hệ.

Lời giải:

a) Ta có: u→=(2;−3)

⇒u→=2.i→+(−3).j→

Tương tự ta có: v→=(4;1),a→=(8;−12)

⇒v→=4.i→+1.j→;a→=8.i→+(−12).j→

b) Ta có: {u→=2.i→+(−3).j→v→=4.i→+1.j→(theo câu a)

⇒{u→+v→=(2.i→+(−3).j→)+(4.i→+1.j→)4.u→=4(2.i→+(−3).j→)⇔{u→+v→=(2.i→+4.i→)+((−3).j→+1.j→)4.u→=4.2.i→+4.(−3).j→⇔{u→+v→=6.i→+(−2).j→4.u→=8.i→+(−12).j→

c) Vì {4.u→=8.i→+(−12).j→a→=8.i→+(−12).j→ nên ta suy ra 4.u→=a→

Giải Toán 10 trang 62 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ4 trang 62 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(xo;yo). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35)

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị OP→ theo i→ và tính độ dài của OP→ theo xo.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị OQ→ theo j→ và tính độ dài của OQ→ theo yo.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của OM→ theo xo,yo.

d) Biểu thị OM→ theo các vectơ i→,j→.

Phương pháp giải:

a) P biểu diễn hoành độ của điểm M.

b) Q biểu diễn tung độ của điểm M.

c) Tính độ dài của OM→ theo các cạnh của hình chữ nhật dựa vào định lí Pytago

d) Biểu thị OM→ theo các vectơ OP→, OQ→ (quy tắc hình bình hành)

Lời giải:

a) Vì P là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên điểm P biểu diễn hoành độ của điểm M là số xo

Ta có: vectơ OP→ cùng phương, cùng hướng với i→ và |OP→|=xo=xo.|i→|

⇒OP→=xo.i→.

b) Vì Q là hình chiếu vuông góc của M trên Oy nên điểm Q biểu diễn tung độ của điểm M là số yo

Ta có: vectơ OQ→ cùng phương, cùng hướng với j→ và |OQ→|=yo=yo.|j→|

⇒OQ→=yo.j→.

c) Ta có: OM→=OM.

Mà OM2=OP2+MP2=OP2+OQ2=xo2+yo2

⇒|OM→|=xo2+yo2

d) Ta có: Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật, cũng là hình bình hành nên OM→=OP→+OQ→

⇒OM→=xo.i→+yo.j→

HĐ5 trang 62 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’)

a) Tìm tọa độ của các vectơ OM→,ON→.

b) Biểu thị vectơ MN→ theo các vectơ OM→,ON→ và tọa độ của MN→.

c) Tìm độ dài của vectơ MN→

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ OM→,ON→ chính là tọa độ của M, N

b) Biểu thị vectơ MN→ theo các vectơ OM→,ON→ bằng quy tắc hiệu.

Tìm tọa độ của MN→ dựa vào biểu thị theo hiệu ở trên và tọa độ của vectơ OM→,ON→ đã biết.

c) Độ dài của vectơ MN→(a;b) là |MN→|=a2+b2

Lời giải:

a) Vì điểm M có tọa độ (x; y) nên vectơ OM→ có tọa độ (x; y).

Và điểm N có tọa độ (x’; y’) nên vectơ ON→ có tọa độ (x’; y’).

b) Ta có: MN→=ON→−OM→ (quy tắc hiệu)

Mà OM→ có tọa độ (x; y); ON→ có tọa độ (x’; y’).

⇒MN→=(x′;y′)−(x;y)=(x′−x;y′−y)

c) Vì MN→ có tọa độ (x′−x;y′−y) nên

Giải Toán 10 trang 63 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 63 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.

Phương pháp giải:

a) Các điểm O, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ OA→,OB→ cùng phương

b) OABM là một hình hành khi và chỉ khi OA→=MB→

Lời giải:

a) Ta có: OA→=(2;1) ( do A(2; 1)) và OB→=(3;3) (do B (3; 3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì 23≠13).

Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên OABM là một hình hành khi và chỉ khi OA→=MB→.

Do OA→=(2;1),MB→=(3−x;3−y) nên

OA→=MB→⇔{2=3−x1=3−y⇔{x=1y=2

Vậy điểm cần tìm là M (1; 2).

Giải Toán 10 trang 64 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 64 Toán lớp 10: Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Bài 4.16 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Lời giải:

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

⇒OM→(1;3),ON→(4;2),MN→=(4−1;2−3)=(3;−1)

⇒OM=|OM→|=12+32=10,ON=|ON→|=42+22=25,MN=|MN→|=32+(−1)2=10

b) Dễ thấy: OM=10=MN⇒ΔOMN cân tại M.

Lại có: OM2+MN2=10+10=20=ON2

⇒ Theo định lí Pythagore đảo, ta có ΔOMNvuông tại M.

Vậy ΔOMN vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a→=3.i→−2.j→,b→=(4;−1) và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ MN→ và 2a→−b→.

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có: b→=(4;−1) và a→=3.i→−2.j→⇒a→(3;−2)

⇒2a→−b→=(2.3−4;2.(−2)−(−1))=(2;−3)

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

⇒MN→=(3−(−3);−3−6)=(6;−9)

Dễ thấy:(6;−9)=3.(2;−3) ⇒MN→=3(2a→−b→)

b) Ta có: OM→=(−3;6) ( do M(-3; 6)) và ON→=(3;−3) (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì −33≠6−3).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi OM→=PN→.

Do OM→=(−3;6),PN→=(3−x;−3−y) nên

OM→=PN→⇔{−3=3−x6=−3−y⇔{x=6y=−9

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Bài 4.18 trang 65 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

Bài 4.19 trang 65 Toán lớp 10: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Bài 4.20 trang 65 Toán lớp 10: Trong hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1; 2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Lời giải:

a) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô.

Do đó, từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E, F như dưới đây:

A có tọa độ (3; 3)

B có tọa độ (3; 1)

C có tọa độ (2; 0)

D có tọa độ (0; 0)

E có tọa độ (0; 4)

F có tọa độ (2; 4)

Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí A(3;3), B(3;1), C(2;0), D(0;0), E(0;4), F(2;4).

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9: Tích của một vecto với một số

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số