Các Dạng Bài Tập Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết

Các dạng bài tập về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

Chú ý: $int {{x^alpha }dx = frac{{{x^{alpha + 1}}}}{{alpha + 1}}} + C$ với $alpha ne - 1$; $int {kdx = k} x + C$; $int {kf(x)dx = k} int {f(x)dx} $; $int {left( {f(x) + g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} + int {g(x)dx} $; $int {left( {f(x) - g(x)} right)dx = } int {f(x)dx} - int {g(x)dx} $.

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = {x^9}$; b) $f(x) = 5{x^3}$; c) $f(x) = {x^7} + 2025$;

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {{x^9}dx} = frac{{{x^{9 + 1}}}}{{9 + 1}} + C = frac{{{x^{10}}}}{{10}} + C$;

b) $int {f(x)dx} = int {5{x^3}dx} = 5int {{x^3}dx} = 5.frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + C = frac{{5{x^4}}}{4} + C$

c) $int {f(x)dx} = int {left( {{x^7} + 2025} right)dx} = int {{x^7}dx} + int {2025dx} $

$ = frac{{{x^{7 + 1}}}}{{7 + 1}} + 2025x + C = frac{{{x^8}}}{8} - 2025x + C$

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = {x^5} - {x^2}$; b) $f(x) = 4{x^3} - 3{x^4}$; c) $f(x) = {x^3} + 4x + 2$;

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {left( {{x^5} - {x^2}} right)dx} = int {{x^5}dx - } int {{x^2}dx} $

$ = frac{{{x^{5 + 1}}}}{{5 + 1}} - frac{{{x^{2 + 1}}}}{{2 + 1}} + C = frac{{{x^6}}}{6} - frac{{{x^3}}}{3} + C$;

b) $int {f(x)dx} = int {left( {4{x^3} - 3{x^4}} right)dx} = int {4{x^3}dx - } int {3{x^4}dx} $

$ = 4int {{x^3}dx - 3} int {{x^4}dx} = 4.frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} - 3.frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C$

$ = {x^4} - frac{{3{x^5}}}{5} + C$

c) $int {f(x)dx} = int {left( {{x^3} + 4x + 2} right)dx} = int {{x^3}dx + } int {4xdx} + int {2dx} $

$ = frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + 4.frac{{{x^{1 + 1}}}}{{1 + 1}} + 2x + C = frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^2} + 2x + C$

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = frac{1}{{{x^3}}}$ b) $f(x) = frac{5}{{{x^4}}}$ c) $f(x) = - frac{6}{{{x^7}}}$

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {frac{1}{{{x^3}}}dx} int {{x^{ - 3}}dx} = frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C$

$ = frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - frac{1}{{2{x^2}}} + C$

b) $int {f(x)dx} = int {frac{5}{{{x^4}}}dx} = int {5{x^{ - 4}}dx} = 5int {{x^{ - 4}}dx} $

$ = 5.frac{{{x^{ - 4 + 1}}}}{{ - 4 + 1}} + C = 5.frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C = 5.frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C = - frac{5}{{3{x^3}}} + C$

c) $int {f(x)dx} = int {left( { - frac{6}{{{x^7}}}} right)dx} = - 6int {frac{1}{{{x^7}}}dx} = - 6int {{x^{ - 7}}dx} $

$ = - 6.frac{{{x^{ - 7 + 1}}}}{{ - 7 + 1}} + C$$ = - 6.frac{{{x^{ - 6}}}}{{ - 6}} + C = {x^{ - 6}} + C = frac{1}{{{x^6}}} + C$

Ví dụ 4: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = sqrt[3]{x}$ b) $f(x) = sqrt x $ c) $f(x) = 3sqrt[4]{x}$ d) $f(x) = frac{1}{{sqrt[7]{x}}}$

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {sqrt[3]{x}dx} = int {{x^{frac{1}{3}}}dx} = frac{{{x^{frac{1}{3} + 1}}}}{{frac{1}{3} + 1}} + C$

$ = frac{{{x^{frac{4}{3}}}}}{{frac{4}{3}}} + C = frac{{3{x^{frac{4}{3}}}}}{4} + C = frac{{3sqrt[3]{{{x^4}}}}}{4} + C$

b) $int {f(x)dx} = int {sqrt x dx} = int {{x^{frac{1}{2}}}dx} = frac{{{x^{frac{1}{2} + 1}}}}{{frac{1}{2} + 1}} + C$

$ = frac{{{x^{frac{3}{2}}}}}{{frac{3}{2}}} + C = frac{{2{x^{frac{3}{2}}}}}{3} + C = frac{{2sqrt {{x^3}} }}{3} + C$

c) $int {f(x)dx} = int {3sqrt[4]{x}dx} = 3int {sqrt[4]{x}dx} = 3int {{x^{frac{1}{4}}}dx} $

$ = 3.frac{{{x^{frac{1}{4} + 1}}}}{{^{frac{1}{4} + 1}}} + C = 3.frac{{{x^{frac{5}{4}}}}}{{^{frac{5}{4}}}} + C = frac{{12{x^{frac{5}{4}}}}}{{^5}} + C = frac{{12sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{^5}} + C$

d) $int {f(x)dx} = int {frac{1}{{sqrt[7]{x}}}dx} = int {frac{1}{{{x^{frac{1}{7}}}}}dx} = int {{x^{ - frac{1}{7}}}dx} $

$ = frac{{{x^{ - frac{1}{7} + 1}}}}{{ - frac{1}{7} + 1}} + C = frac{{{x^{frac{6}{7}}}}}{{frac{6}{7}}} + C = frac{{7{x^{frac{6}{7}}}}}{6} + C = frac{{7sqrt[7]{{{x^6}}}}}{6} + C$

Ví dụ 5: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = frac{9}{x}$ b) $f(x) = frac{1}{x} - 5$ c) $f(x) = frac{1}{{3x + 2}}$ d) $f(x) = frac{5}{{2x - 7}}$

Lời giải

Chú ý:

$int {frac{1}{x}dx = ln } left| x right| + C$

$int {frac{1}{{ax + b}}dx = frac{1}{a}ln } left| {ax + b} right| + C$

a) $int {f(x)dx} = int {frac{9}{x}dx} = 9int {frac{1}{x}dx} = 9.ln left| x right| + C$

b) $int {f(x)dx} = int {left( {frac{1}{x} - 5} right)dx} = int {frac{1}{x}dx} - int {5dx} = ln left| x right| - 5x + C$

c) $int {f(x)dx} = int {frac{1}{{3x + 2}}dx} = frac{1}{3}ln left| {3x + 2} right| + C$

d $int {f(x)dx} = int {frac{5}{{2x - 7}}dx} = 5int {frac{1}{{2x - 7}}dx} $

$ = 5.frac{1}{2}ln left| {2x - 7} right| + C = frac{5}{2}ln left| {2x - 7} right| + C$

Ví dụ 6: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = {x^3}$ biết $F(1) = frac{3}{4}$.

Lời giải

Ta có: $F(x) = int {f(x)dx} = int {{x^3}dx} = frac{{{x^4}}}{4} + C$.

Theo đề cho $F(1) = frac{3}{4}$ nên $frac{{{1^4}}}{4} + C = frac{3}{4} Leftrightarrow C = frac{3}{4} - frac{1}{4} Leftrightarrow C = frac{1}{2}$

Vậy $F(x) = frac{{{x^4}}}{4} + frac{1}{2}$

Ví dụ 7: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3{x^{2025}}$ biết $F( - 1) = frac{{2029}}{{2026}}$.

Lời giải

Ta có: $F(x) = int {f(x)dx} = int {3{x^{2025}}dx} $

$ = 3int {{x^{2025}}dx} = 3.frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + C = frac{{3{x^{2026}}}}{{2026}} + C$.

Theo đề cho $F( - 1) = frac{{2029}}{{2026}}$

nên $frac{{3{{( - 1)}^{2026}}}}{{2026}} + C = frac{{2029}}{{2026}} Leftrightarrow frac{3}{{2026}} + C = frac{{2029}}{{2026}}$

$ Leftrightarrow C = frac{{2029}}{{2026}} - frac{3}{{2026}} Leftrightarrow C = 1$

Vậy $F(x) = frac{{3{x^{2026}}}}{{2026}} + 1$

Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

Chú ý:

$int {cosxdx = sin x} + C$; $int {cosleft( {ax + b} right)dx = frac{1}{a}sin left( {ax + b} right)} + C$;

$int {sin xdx = - cosx} + C$; $int {sin left( {ax + b} right)dx = - frac{1}{a}cosxleft( {ax + b} right)} + C$;

$int {frac{1}{{co{s^2}x}}dx = tan x} + C$;

$int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dx = - cot x} + C$;

Ví dụ 8: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = 7cosx$ b) $f(x) = 5sin x$ c) $f(x) = sin 3x$ d) $f(x) = cosfrac{x}{4}$ e) $f(x) = 2cosx - 3sin x$

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {7cosxdx} = 7int {cosxdx} = 7sin x + C$

b) $int {f(x)dx} = int {5sin xdx} = 5int {sin xdx} $

$ = 5left( { - cosx} right) + C = - 5cosx + C$

c) $int {f(x)dx} = int {sin 3xdx} = - frac{1}{3}cosx + C$

d) $int {f(x)dx} = int {cosfrac{x}{4}dx} = frac{1}{{frac{1}{4}}}sin x + C = 4sin x + C$

e) $int {f(x)dx} = int {left( {2cosx - 3sin x} right)dx} = int {2cosxdx} - int {3sin xdx} $

$ = 2int {cosxdx} - 3int {sin xdx} = 2sin x + 3cosx + C$

Ví dụ 9: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = frac{{10}}{{co{s^2}x}}$ b) $f(x) = frac{{2025}}{{{{sin }^2}x}}$ c) $f(x) = frac{{11}}{{co{s^2}x}} + frac{3}{{si{n^2}x}}$

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {frac{{10}}{{co{s^2}x}}dx} = 10int {frac{1}{{co{s^2}x}}dx} = 10tan x + C$

b) $int {f(x)dx} = int {frac{{2025}}{{{{sin }^2}x}}dx} = 2025int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dx} $

$ = 2025left( { - cot x} right) + C = - 2025cot x + C$

c) $int {f(x)dx} = int {left( {frac{{11}}{{co{s^2}x}} + frac{3}{{si{n^2}x}}} right)dx} = int {frac{{11}}{{co{s^2}x}}dx} + int {frac{3}{{si{n^2}x}}dx} $

$ = 11int {frac{1}{{co{s^2}x}}dx} + 3int {frac{1}{{si{n^2}x}}dx} = 11tan x - 3cot x + C$

Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ

Chú ý:

$int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $int {{e^{ax + b}}dx = frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$

$int {{a^x}dx = frac{{{a^x}}}{{ln a}}} + C$

Ví dụ 10: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = 15{e^x}$ b) $f(x) = {e^{9x}}$ c) $f(x) = {15^x} + {17^x}$ d) $f(x) = {2025^x} - 9{e^x}$

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {15{e^x}dx} = 15int {{e^x}dx} = 15{e^x} + C$

b) $int {f(x)dx} = int {{e^{9x}}dx} = frac{1}{9}{e^{9x}} + C$

c) $int {f(x)dx} = int {left( {{{15}^x} + {{17}^x}} right)dx} = int {{{15}^x}dx} + int {{{17}^x}dx} $

$ = frac{{{{15}^x}}}{{ln 15}} + frac{{{{17}^x}}}{{ln 17}} + C$

d) $int {f(x)dx} = int {left( {{{2025}^x} - 9.{e^x}} right)dx} = int {{{2025}^x}dx} - int {9.{e^x}dx} $

$ = frac{{{{2025}^x}}}{{ln 2025}} - 9{e^x} + C$

4. Nguyên hàm của hàm số tổng hợp đơn giản

Chú ý:

${left( {a + b} right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

${left( {a - b} right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$

Ví dụ 11: Tính nguyên hàm các hàm số sau

a) $f(x) = {left( {3x + frac{1}{x}} right)^2}$ b) $f(x) = {left( {{e^x} - 3} right)^2}$ c) $f(x) = {left( {sin frac{x}{2} + cosfrac{x}{2}} right)^2}$ d) $f(x) = {left( {{5^x} - {3^x}} right)^2}$

Lời giải

a) $int {f(x)dx} = int {{{left( {3x + frac{1}{x}} right)}^2}dx} = int {left( {9{x^2} + 6 + frac{1}{{{x^2}}}} right)dx} $

$ = int {9{x^2}dx} + int {6dx} + int {frac{1}{{{x^2}}}dx} = 9.frac{{{x^3}}}{3} + 6x - frac{1}{x} + C$

$ = 3{x^3} + 6x - frac{1}{x} + C$

b) $int {f(x)dx} = int {{{left( {{e^x} - 3} right)}^2}dx} = int {left( {{e^{2x}} - 6{e^x} + 9} right)dx} $

$ = int {{e^{2x}}dx} - int {6{e^x}dx} + int {9dx} = frac{1}{2}{e^{2x}} - 6{e^x} + 9x + C$

c) $int {f(x)dx} = int {{{left( {sin frac{x}{2} + cosfrac{x}{2}} right)}^2}dx} $

$ = int {left( {{{sin }^2}frac{x}{2} + 2sin frac{x}{2}cosfrac{x}{2} + co{s^2}frac{x}{2}} right)dx} $

$ = int {left( {{{sin }^2}frac{x}{2} + co{s^2}frac{x}{2} + 2sin frac{x}{2}cosfrac{x}{2}} right)dx} $

$ = int {left( {1 + sin x} right)dx} = x - cosx + C$

d) $int {f(x)dx} = int {{{left( {{5^x} - {3^x}} right)}^2}dx} = int {left( {{{left( {{5^x}} right)}^2} - {{2.5}^x}{{.3}^x} + {{left( {{3^x}} right)}^2}} right)dx} $

$ = int {left( {{{25}^x} - {{2.15}^x} + {9^x}} right)dx} $$ = int {{{25}^x}dx} - int {{{2.15}^x}dx} + int {{9^x}dx} $

$ = frac{{{{25}^x}}}{{ln 25}} - 2.frac{{{{15}^x}}}{{ln 15}} + frac{{{9^x}}}{{ln 9}}$

Ví dụ 12: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = frac{6}{x}$ biết $F(e) = 12$.

Lời giải

Ta có: $F(x) = int {f(x)dx} = int {frac{6}{x}dx} $

$ = 6int {frac{1}{x}dx} = 6.ln left| x right| + C$.

Theo đề cho $F(e) = 12$

nên $6.ln left| e right| + C = 12 Leftrightarrow 6 + C = 12 Leftrightarrow C = 6$

Vậy $F(x) = 6.ln left| x right| + 2$