4.6 GIỚI HẠN MỘT BÊN1.html

GIỚI HẠN MỘT BÊN

A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

1.Giới hạn hữu hạn

a. Định nghĩa 1

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến (hoặc tại điểm )nếu với mọi dãy số bất kì những số thuộc khoảng mà ta đều có Khi đó ta viết

hoặc khi

b. Định nghĩa 2

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy bất kì những số thuộc khoảng mà ta đều có Khi đó ta viết

hoặc khi

Chú ý:

1). Nếu thì hàm số f có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại điểm . Và

2). Ngược lại, nếu thì hàm số f có giới hạn tại điểm và .

3). Các định lí 1 và 2 ở bài trước vẫn đúng khi thay bởi hoặc

2. Giới hạn vô cực

1.Các định nghĩa , , và được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

2. Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay bởi hoặc .

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:

a). b).

LỜI GIẢI

a). Vì . Vậy

Ta có

b). Ta có

LỜI GIẢI

Ta có và

Vì nên hàm số đã cho không có giới hạn tại

BÀI TẬP TỔNG HỢP

LỜI GIẢI

a) .

b)

c)

LỜI GIẢI

Ta có và .

Vì nên hàm có giới hạn tại và

LỜI GIẢI

a)Ta có

Và Vậy

b) Ta có và có

Vậy

LỜI GIẢI

a). Ta có: và có

b). Ta có và có

Vì nên hàm số có giới hạn tại và

LỜI GIẢI

Tại ta có

Mà

Và .

Nên

Do đó hàm số có giới hạn tại khi và chỉ khi

Tại :

.

Do đó hàm số có giới hạn tại khi và chỉ khi

Từ và suy ra: hàm số cùng có giới hạn tại và khi và chỉ khi

Vậy với thì hàm số cùng có giới hạn tại và

LỜI GIẢI

a)

b)

c)

d)

LỜI GIẢI

a).

b).

Vì

c).

Ta có , và

Kết luận .

d).

Ta có , và , và

Kết luận .

e).

Nếu .

Nếu .

Mà và . Do đó .

f).

Với mọi ta có :

.

Vậy .

LỜI GIẢI

a). Ta có

Vậy ta có

b).Ta có

Chú ý: giới hạn của hàm số và giá trị của hàm số tại điểm lấy giới hạn có thể bằng nhau, có thể khác nhau. Trong thí dụ trên:

câu a) có , còn câu b)

LỜI GIẢI

Ta có

Ta thấy nên hàm số không có giới hạn tại .

LỜI GIẢI

Ta có

Hàm số có giới hạn tại khi và chỉ khi