Đề kiểm tra giữa học kỳ 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Giá trị của ${27^{frac{1}{3}}}$ bằng:
A. 6 . B. 81 . C. 9 . D. 3 .
Câu 2: Hàm số $y = {(x - 1)^{frac{1}{3}}}$ có tập xác định là
A. $left[ {1; + infty } right)$. B. $left( {1; + infty } right)$. C. $left( { - infty ; + infty } right)$. D. $left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right)$.
Câu 3: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao bằng $h$ là
A. $V = Bh$. B. $V = frac{1}{3}Bh$. C. $V = frac{pi }{3}Bh$. D. $V = frac{1}{3}pi {B^2}h$.
Câu 4: Cho $a > 0$ thỏa mãn $loga = 7$. Giá trị của $logleft( {100a} right)$ bằng
A. 9 . B. 700 . C. 14 . D. 7 .
Câu 5: Tìm $a$ để đồ thị hàm số $y = {log_a}x(0 < a ne 1)$ có đồ thị là hình bên.
A. $a = sqrt 2 $. B. $a = frac{1}{{sqrt 2 }}$. C. $a = frac{1}{2}$. D. $a = 2$
Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} - 2x - 5}} = 27$ là
A. 0 . B. -8 C. -2 . D. 2 .
Câu 7: Cho khối hộp chữ nhật có kích thước 2;4;6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A. 16 . B. 12 . C. 48 . D. 8 .
Câu 8: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: ${log_2}left( {2 - x} right) leqslant 1$.
A. $left[ {0; + infty } right)$. B. $left[ {0;2} right]$. C. $left( { - infty ;2} right)$. D. $left[ {0;2} right)$.
Câu 9: Cho hình lập phương $ABCD cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $BA’$ và $CD$ bằng
A. ${45^ circ }$. B. ${60^ circ }$. C. ${30^ circ }$. D. ${90^ circ }$.
Câu 10: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $left( P right)$, trong đó $a bot left( P right)$. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Nếu $b//a$ thì $b bot left( P right)$. B. Nếu $b subset left( P right)$ thì $b bot a$.
C. Nếu $b//left( P right)$ thì $b bot a$. D. Nếu $b//a$ thì $b//left( P right)$.
Câu 11: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 2 , cạnh bên bằng 3 . Gọi $varphi $ là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $tanvarphi = sqrt 7 $. B. $varphi = {60^0}$. C. $varphi = {45^0}$. D. $cosvarphi = frac{{sqrt 2 }}{3}$.
Câu 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = asqrt 2 $. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. ${a^3}sqrt 2 $. B. $frac{{{a^3}sqrt 2 }}{3}$. C. $frac{{{a^3}sqrt 2 }}{4}$. D. $frac{{{a^3}sqrt 2 }}{6}$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho phương trình: $log_2^2left( {x + 1} right) - 6{log_2}sqrt {x + 1} + 2 = 0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Điều kiện xác định của phương trình là $x > - 1$.
b) Nếu đặt $t = {log_2}left( {x + 1} right)$ thì phương trình đã cho trở thành ${t^2} - 6t + 2 = 0$.
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương.
d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 6 .
Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,SA bot left( {ABC} right),AB = BC = a$, $SA = asqrt 3 $. Tính góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$ ?
a) Đường thẳng $BC$ vuông góc với đường thẳng $SB$.
b) Góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AB$ bằng góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$.
c) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AB$ bằng $frac{{sqrt 3 }}{2}$
d) Góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$ bằng ${45^ circ }$.
Câu 3: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của các hàm số mũ $y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}$
a) Từ đồ thị, hàm số $y = {a^x}$ là hàm số nghịch biến.
b) Hàm số $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến nên $c < 1$.
c) Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến nên $a < b$.
d) Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến và $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến nên ta suy ra được $a > b > 1 > c$.
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, hai mặt phẳng $left( {SAB} right)$ và $left( {SBC} right)$ vuông góc với nhau, $SB = asqrt 3 $, góc giữa $SC$ và $left( {SAB} right)$ là ${45^ circ }$ và $widehat {ASB} = {30^ circ }$.
a) Mặt phẳng $left( {SAB} right)$ vuông góc với mặt phẳng .
b) Tam giác $SBC$ vuông cân tại $C$.
c) Hai đường thẳng $AB$ và $CB$ vuông góc với nhau.
d) Nếu gọi thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V$ thì tỷ số $frac{{{a^3}}}{V}$ bằng $frac{3}{8}$.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m in left( { - 2024;2024} right)$ để hàm số $y = {left( {{x^2} - 2x - m + 1} right)^{sqrt 7 }}$ có tập xác định là $mathbb{R}$ ?
Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${log_{2 - sqrt 3 }}left( {x - 1} right) + {log_{2 + sqrt 3 }}left( {11 - 2x} right) geqslant 0$.
Câu 3: Số lượng của loại vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $Sleft( t right) = Sleft( 0 right){.2^t}$, trong đó $Sleft( 0 right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ ban đầu, $Sleft( t right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu (đơn vị: phút) kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn $A$ là 10 triệu con?
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có $BC = asqrt 2 $ các cạnh còn lại đều bằng $a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ (đơn vị: độ)
Câu 5: Cho hình lập phương $ABCD cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $CD’$
Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh 3 và đường chéo $AC = 3$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa $left( {SCD} right)$ và đáy bằng ${45^ circ }$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ (đơn vị thể tích).
GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Câu 1: Giá trị của ${27^{frac{1}{3}}}$ bằng
A. 6.
B. 81 .
C. 9 .
D. 3 .
Lời giải
Ta có ${27^{frac{1}{3}}} = sqrt[3]{{27}} = 3$.
Câu 2: Hàm số $y = {(x - 1)^{frac{1}{3}}}$ có tập xác định là
A. $left[ {1; + infty } right)$.
B. $left( {1; + infty } right)$.
C. $left( { - infty ; + infty } right)$.
D. $left( { - infty ;1} right) cup left( {1; + infty } right)$.
Lời giải
Vì $frac{1}{3}$ là số không nguyên nên hàm số $y = {(x - 1)^{frac{1}{3}}}$ xác định khi và chỉ khi $x - 1 > 0 Leftrightarrow x > 1$.
Vậy hàm số $y = {(x - 1)^{frac{1}{3}}}$ có tập xác định là $left( {1; + infty } right)$.
Câu 3: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao bằng $h$ là
A. $V = Bh$.
B. $V = frac{1}{3}Bh$.
C. $V = frac{pi }{3}Bh$.
D. $V = frac{1}{3}pi {B^2}h$.
Lời giải
Ta có công thức $V = frac{1}{3}Bh$.
Câu 4: Cho $a > 0$ thỏa mãn $loga = 7$. Giá trị của $logleft( {100a} right)$ bằng
A. 9 .
B. 700 .
C. 14 .
D. 7 .
Lời giải
Ta có: $logleft( {100a} right) = log100 + loga = 2 + loga = 2 + 7 = 9$.
Câu 5: Tìm $a$ để đồ thị hàm số $y = {log_a}x(0 < a ne 1)$ có đồ thị là hình bên.
A. $a = sqrt 2 $.
B. $a = frac{1}{{sqrt 2 }}$.
C. $a = frac{1}{2}$.
D. $a = 2$
Do đồ thị hàm số đi qua điểm $left( {2;2} right)$ nên $2 = {log_a}2 Leftrightarrow a = sqrt 2 $.
Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} - 2x - 5}} = 27$ là
A. 0 .
B. -8 .
C. -2 .
D. 2 .
Lời giải
Ta có: ${3^{{x^2} - 2x - 5}} = 27 Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2x - 5}} = {3^3} Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = - 2} {x = 4} end{array}} right.$.
Vậy $4 + left( { - 2} right) = 2$.
Câu 7: Cho khối hộp chữ nhật có kích thước $2;4;6$. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A. 16 .
B. 12 .
C. 48 .
D. 8 .
Lời giải
Thể tích của khối hộp là $V = 2 cdot 4.6 = 48$.
Câu 8: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: ${log_2}left( {2 - x} right) leqslant 1$.
A. $left[ {0; + infty } right)$.
B. $left[ {0;2} right]$.
C. $left( { - infty ;2} right)$.
D. $left[ {0;2} right)$.
Lời giải
Tập xác định $D = left( { - infty ;2} right)$. Ta có: ${log_2}left( {2 - x} right) leqslant 1 Leftrightarrow 2 - x leqslant 2 Leftrightarrow x geqslant 0$. Vậy $S = left[ {0;2} right)$.
Câu 9: Cho hình lập phương $ABCD cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $BA’$ và $CD$ bằng
A. ${45^ circ }$.
B. ${60^ circ }$.
C. ${30^ circ }$.
D. ${90^ circ }$.
Lời giải
Vì $CD//AB$ nên $left( {BA’,CD} right) = left( {BA’,BA} right) = widehat {ABA’} = {45^ circ }$ (do $ABB’A’$ là hình vuông).
Câu 10: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $left( P right)$, trong đó $a bot left( P right)$. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Nếu $b//a$ thì $b bot left( P right)$.
B. Nếu $b subset left( P right)$ thì $b bot a$.
C. Nếu $b//left( P right)$ thì $b bot a$.
D. Nếu $b//a$ thì $b//left( P right)$.
Lời giải
A. Đúng vì $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a bot left( P right)} {a//b} end{array} Rightarrow b bot left( P right)} right.$ nên đáp án D sai.
B. Đúng vì $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a bot left( P right)} {b subset left( P right)} end{array} Rightarrow a bot b} right.$.
C. Đúng vì $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {a bot left( P right)} {b//left( P right)} end{array} Rightarrow b bot a} right.$.
Câu 11: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 2 , cạnh bên bằng 3 . Gọi $varphi $ là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $tanvarphi = sqrt 7 $.
B. $varphi = {60^0}$.
C. $varphi = {45^0}$.
D. $cosvarphi = frac{{sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải
Gọi $H = AB cap CD Rightarrow SH bot left( {ABCD} right) Rightarrow varphi = left( {SB,left( {ABCD} right)} right) = widehat {SAH}$.
Xét tam giác $SBH$ vuông tại $H$, có $BH = frac{{BD}}{2} = frac{{2sqrt 2 }}{2} = sqrt 2 $.
$ Rightarrow cosvarphi = frac{{BH}}{{SB}} = frac{{sqrt 2 }}{3}$.
Câu 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = asqrt 2 $. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. ${a^3}sqrt 2 $.
B. $frac{{{a^3}sqrt 2 }}{3}$.
C. $frac{{{a^3}sqrt 2 }}{4}$.
D. $frac{{{a^3}sqrt 2 }}{6}$.
Lời giải
Diện tích đáy ${S_{ABCD}} = {a^2}$.
Thể tích của khối chóp đã cho là ${V_{S cdot ABCD}} = frac{1}{3}SA cdot {S_{ABCD}} = frac{1}{3}asqrt 2 cdot {a^2} = frac{{{a^3}sqrt 2 }}{3}$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho phương trình: $log_2^2left( {x + 1} right) - 6{log_2}sqrt {x + 1} + 2 = 0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Điều kiện xác định của phương trình là $x > - 1$.
b) Nếu đặt $t = {log_2}left( {x + 1} right)$ thì phương trình đã cho trở thành ${t^2} - 6t + 2 = 0$.
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương.
d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 6
Lời giải
Điều kiện: $x > - 1$.
Ta có: $log_2^2left( {x + 1} right) - 6{log_2}sqrt {x + 1} + 2 = 0 Leftrightarrow log_2^2left( {x + 1} right) - 3{log_2}left( {x + 1} right) + 2 = 0$
Đặt $t = {log_2}left( {x + 1} right)$ thì phương trình trở thành ${t^2} - 3t + 2 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {t = 1} {t = 2} end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x = 1} {x = 3} end{array}} right.} right.$.
So với điều kiện thấy thỏa mãn. Vậy tổng các nghiệm là: $1 + 3 = 4$.
a) Đúng: Điều kiện xác định của phương trình là $x > - 1$.
b) Sai: Nếu đặt $t = {log_2}left( {x + 1} right)$ thì phương trình đã cho trở thành ${t^2} - 3t + 2 = 0$.
c) Đúng: Phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là $x = 1$ hoặc $x = 3$
d) Sai: Tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 4 .
Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,SA bot left( {ABC} right),AB = BC = a$, $SA = asqrt 3 $. Tính góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$ ?
a) Đường thẳng $BC$ vuông góc với đường thẳng $SB$.
b) Góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AB$ bằng góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$
c) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AB$ bằng $frac{{sqrt 3 }}{2}$
d) Góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$ bằng ${45^ circ }$
Lời giải
Ta có: $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {SA bot BC;left( {;do;SA bot left( {ABC} right)} right)} {AB bot BC;left( {gt} right)} end{array} Rightarrow BC bot left( {SAB} right) Rightarrow BC bot SB} right.$
Xét 2 mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$ ta có: $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {left( {SBC} right) cap left( {ABC} right) = BC} {SB bot BC,SB subset left( {SBC} right)} {AB bot BC,AB subset left( {ABC} right)} {SB cap AB = left{ B right}} end{array}} right.$.
$ Rightarrow left( {widehat {left( {SBA} right);left( {ABC} right)}} right) = left( {widehat {SB,AB}} right) = widehat {SBA}$
Xét $SAB$ tam giác vuông tại $A$, có $tanwidehat {SBA} = frac{{SA}}{{AB}} = sqrt 3 Rightarrow widehat {SBA} = {60^ circ }$.
a) Đúng: Đường thẳng $BC$ vuông góc với đường thẳng $SB$.
b) Đúng: Góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AB$ bằng góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$
c) Sai: Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AB$ bằng $frac{{sqrt 3 }}{2}$
d) Sai: Góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$ bằng ${45^ circ }$.
Câu 3: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của các hàm số mũ $y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}$
a) Từ đồ thị, hàm số $y = {a^x}$ là hàm số nghịch biến.
b) Hàm số $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến nên $c < 1$.
c) Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến nên $a < b$.
d) Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến và $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến nên ta suy ra được $a > b > 1 > c$.
Lời giải
Từ đồ thị ta suy ra: Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến và $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến.
Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến nên $a,b > 1$
Do $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến nên $c < 1$.
Nếu lấy $x = m$ khi đó tồn tại ${y_1},{y_2} > 0$ để $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {{a^m} = {y_1}} {{b^m} = {y_2}} end{array}} right.$. Dễ thấy ${y_1} > {y_2}$ nên $a > b$.
Vậy $a > b > 1 > c$
a) Sai: Từ đồ thị, hàm số $y = {a^x}$ là hàm số đồng biến.
b) Đúng: Hàm số $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến nên $c < 1$.
c) Sai: Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến nên $a > b$.
d) Đúng: Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {b^x}$ là hai hàm số đồng biến và $y = {c^x}$ là hàm số nghịch biến nên ta suy ra được $a > b > 1 > c$.
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, hai mặt phẳng $left( {SAB} right)$ và $left( {SBC} right)$ vuông góc với nhau, $SB = asqrt 3 $, góc giữa $SC$ và $left( {SAB} right)$ là ${45^ circ }$ và $widehat {ASB} = {30^ circ }$.
a) Mặt phẳng $left( {SAB} right)$ vuông góc với mặt phẳng
b) Tam giác $SBC$ vuông cân tại $C$
c) Hai đường thẳng $AB$ và $CB$ vuông góc với nhau.
d) Nếu gọi thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V$ thì tỷ số $frac{{{a^3}}}{V}$ bằng $frac{3}{8}$.
Lời giải
Theo giả thiết, $vartriangle SAB$ vuông tại $A$ có $SB = asqrt 3 ,widehat {ASB} = {30^ circ }$. Khi đó, $SA = SB cdot cos{30^ circ } = frac{{3a}}{2}$
và $AB = SB cdot sin{30^ circ } = frac{{asqrt 3 }}{2}$.
Do $SA bot left( {ABC} right)$ nên $left( {SAB} right) bot left( {ABC} right)$. Vậy hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {ABC} right)$ cùng vuông góc
với $left( {SAB} right)$ nên suy ra $BC bot left( {SAB} right) Rightarrow left( {SC,left( {SAB} right)} right) = left( {SC,SB} right) = widehat {CSB} = {45^ circ }$.
Suy ra $vartriangle SBC$ vuông cân tại $B Rightarrow BC = SB = asqrt 3 $.
Mặt khác, $BC bot left( {SAB} right) Rightarrow CB bot AB Rightarrow vartriangle ABC$ vuông tại $B$.
Khi đó, ${S_{vartriangle ABC}} = frac{1}{2}AB cdot BC = frac{{3{a^2}}}{4}$ và $V = frac{1}{3}SA cdot {S_{vartriangle ABC}} = frac{{3{a^3}}}{8}$.
Vậy tỉ số $frac{{{a^3}}}{V} = frac{8}{3}$.
a) Đúng: Mặt phẳng $left( {SAB} right)$ vuông góc với mặt phẳng $left( {ABC} right)$.
b) Sai: Tam giác $SBC$ vuông cân tại $B$.
c) Đúng: Hai đường thẳng $AB$ và $CB$ vuông góc với nhau.
d) Sai: Nếu gọi thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V$ thì tỷ số $frac{{{a^3}}}{V}$ bằng $frac{8}{3}$.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m in left( { - 2024;2024} right)$ để hàm số $y = {left( {{x^2} - 2x - m + 1} right)^{sqrt 7 }}$ có tập xác định là $mathbb{R}$ ?
Lời giải
Hàm số $y = {left( {{x^2} - 2x - m + 1} right)^{sqrt 7 }}$ có tập xác định là $mathbb{R} Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 1 > 0,forall x in mathbb{R}$
$ Leftrightarrow m < {(x + 1)^2},forall x in mathbb{R}$
Mà $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {m in mathbb{Z}} {m in left( { - 2024;2024} right)} end{array} Rightarrow left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {m in mathbb{Z}} {m in left( { - 2024;0} right)} end{array}} right.} right.$ nên có 2023 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu.
Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${log_{2 - sqrt 3 }}left( {x - 1} right) + {log_{2 + sqrt 3 }}left( {11 - 2x} right) geqslant 0$.
Lời giải
Điều kiện $1 < x < frac{{11}}{2}$.
Ta có ${log_{2 - sqrt 3 }}left( {x - 1} right) + {log_{2 + sqrt 3 }}left( {11 - 2x} right) geqslant 0$
$ Leftrightarrow {log_{2 - sqrt 3 }}left( {x - 1} right) + {log_{2 - sqrt 3 }}frac{1}{{11 - 2x}} geqslant 0$
$ Leftrightarrow {log_{2 - sqrt 3 }}left( {frac{{x - 1}}{{11 - 2x}}} right) geqslant 0 Leftrightarrow frac{{x - 1}}{{11 - 2x}} leqslant 1$
$ Leftrightarrow frac{{3x - 12}}{{11 - 2x}} leqslant 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {x leqslant 4} {x > frac{{11}}{2}} end{array}} right.$
Kết hợp điều kiện suy ra $1 < x leqslant 4$
Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.
Câu 3: Số lượng của loại vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $Sleft( t right) = Sleft( 0 right) cdot {2^t}$, trong đó $Sleft( 0 right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ ban đầu, $Sleft( t right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu (đơn vị: phút) kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn $A$ là 10 triệu con?
Lời giải
Vì sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con
Khi đó ta có: $625000 = Sleft( 0 right) cdot {2^3} Leftrightarrow Sleft( 0 right) = 78125$ con.
Thời gian để số lượng vi khuẩn $A$ là 10 triệu con là: $10000000 = {78125.2^t} Leftrightarrow t = 7$ phút.
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có $BC = asqrt 2 $ các cạnh còn lại đều bằng $a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ (đơn vị: độ)
Lời giải
Gọi $alpha = overline {left( {SB,AC} right)} $. Do $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Ta có $cosalpha = frac{{left| {overrightarrow {SB} cdot overrightarrow {AC} } right|}}{{left| {overrightarrow {SB} left| cdot right|overrightarrow {AC} } right|}} = frac{{left| {left( {overrightarrow {AB} - overrightarrow {AS} } right) cdot overrightarrow {AC} } right|}}{{{a^2}}}$
$ = frac{{left| {overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} - overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {AC} } right|}}{{{a^2}}} = frac{{left| {overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {AC} } right|}}{{{a^2}}}$
$ = frac{{left| {SA cdot AC cdot cos{{60}^ circ }} right|}}{{{a^2}}} = cos{60^ circ }$.
Khi đó $alpha = widehat {left( {SB,AC} right)} = {60^ circ }$
Câu 5: Cho hình lập phương $ABCD cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $CD’$
Lời giải
Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB’$ và $CD’$
Suy ra $J$ lần lượt là trung điểm của $DC’$. Do đó $IJparallel AD;IJ = AD = 2a$ (1)
Mặt khác $left. {begin{array}{cccccccccccccccccccc} {AD bot DD’} {AD bot DC} end{array}} right} Rightarrow AD bot left( {DD’C’C} right) Rightarrow AD bot CD’$
Tương tự $AD bot AB’left( 3 right)$
Từ $left( 1 right),left( 2 right)$ và $left( 3 right)$ ta có: $IJ$ là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng $AB’$ và $CD’$
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $CD’$ bằng 4 .
Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh 3 và đường chéo $AC = 3$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa $left( {SCD} right)$ và đáy bằng ${45^ circ }$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ (đơn vị thể tích).
Lời giải
Ta có diện tích đáy ${S_{ABCD}} = 2{S_{vartriangle ACD}} = frac{{9sqrt 3 }}{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB Rightarrow SH bot AB$, vì $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {left( {SAB} right) bot left( {ABCD} right)} {left( {SAB} right) cap left( {ABCD} right) = AB} end{array} Rightarrow SH bot left( {ABCD} right)} right.$.
Ta có $left{ {begin{array}{llllllllllllllllllll} {AB bot SH} {AB bot CHleft( {doAB = BC = CA} right)} end{array} Rightarrow AB bot left( {SHC} right)} right.$, vì $CD//AB Rightarrow CD bot left( {SHC} right)$.
Ta lại có $left{ begin{gathered} (SCD) cap (ABCD) = CD hfill SC bot CD,,SC subset (SCD) hfill HC bot CD,,HC subset (ABCD) hfill end{gathered} right.$
Suy ra, góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc $widehat {SCH}$
Suy ra $vartriangle SHC$ vuông cân tại $H Rightarrow SH = CH = frac{{3sqrt 3 }}{2}$.
Vậy $V = frac{1}{3}{S_{ABCD}} cdot SH = frac{1}{3} cdot frac{{9sqrt 3 }}{2} cdot frac{{3sqrt 3 }}{2} = frac{{{a^3}}}{4} = frac{{27}}{4} = 6,75$ (đơn vị thể tích).
