MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số câu hỏI hình học trong đề thi giữa kì I lớp 8 của các trường (bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống) kèm đáp án chi tiết.
Câu 1 (Trường THCS Lý Tự Trọng - Phú Yên)
Cho tứ giác (ABCD) có (AB = BC). (AC) là tia phân giác của góc (widehat{A}). Chứng minh rằng tứ giác (ABCD) là hình thang.
Hướng dẫn:
Xét tam giác (triangle ABC) có (BA = BC) (Rightarrow) (triangle ABC) cân tại (B) (định nghĩa)
(Rightarrow widehat{ABC} = widehat{BCA}) (tính chất tam giác cân)
Mà (widehat{DAC} = widehat{BAC}) (do (AC) là phân giác của (widehat{BAD})).
(Rightarrow widehat{BCA} = widehat{DAC} ;(=widehat{BAC})) mà (widehat{BCA}) và (widehat{DAC}) ở vị trí so le trong
(Rightarrow BC parallel AD) (Rightarrow ABCD) là hình thang (định nghĩa)
Câu 2 (Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam)
Cho hình bình hành ABCD. Biết ( widehat{BAD} = 120^{circ} ).
a. Tính số đo các góc còn lại của hình bình hành.
b. Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh rằng A, O, C thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a) Có ABCD là hình bình hành (gt)
⇒ ( widehat{BAD} = widehat{DCB}; widehat{ADC} = widehat{ABC}; widehat{DAB} + widehat{ADC} = 180^{circ} )
Có ( widehat{DCB} = widehat{BAD} = 120^{circ} );
Có ( widehat{ADC} = 180^{circ} - widehat{BAD} = 180^{circ} - 120^{circ} = 60^{circ} )
Có ( widehat{ABC} = widehat{ADB} = 60^{circ} )
b) Có ABCD là hình bình hành;
⇒ BD và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD ⇒ O cũng là trung điểm của AC.
⇒ A, O, C thẳng hàng.
Câu 3 (Trường THCS Đường Hoa - Quảng Ninh)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho ( AD = AE ).
a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
b) Tính các góc của hình thang cân đó biết rằng ( widehat{A} = 50^{circ} ).
Hướng dẫn:
a) Xét tam giác ( triangle ADE ) có ( AD = AE ) (gt) ⇒ ( triangle ADE ) cân tại A (định nghĩa)
⇒ ( widehat{ADE} = widehat{AED} ) (tính chất tam giác cân)
Có ( widehat{ADE} + widehat{AED} + widehat{A} = 180^{circ} Rightarrow 2widehat{ADE} + widehat{A} = 180^{circ} Rightarrow widehat{ADE} = dfrac{180^{circ} - widehat{A}}{2} )
Xét tam giác ( triangle ABC ) có ( AB = AC ) (gt) ⇒ ( triangle ABC ) cân tại A (định nghĩa)
⇒ ( widehat{B} = widehat{C} ) (tính chất tam giác cân)
Có ( widehat{B} + widehat{C} + widehat{A} = 180^{circ} Rightarrow 2widehat{B} + widehat{A} = 180^{circ} Rightarrow widehat{B} = dfrac{180^{circ} - widehat{A}}{2} ) mà ( widehat{ADE} = dfrac{180^{circ} - widehat{A}}{2} )
⇒ ( widehat{B} = widehat{ADE} ) mà ( widehat{B} ) và ( widehat{ADE} ) ở vị trí đồng vị ⇒ ( BC // DE Rightarrow BDEC ) là hình thang
Lại có ( widehat{B} = widehat{C} Rightarrow BDEC ) là hình thang cân
b) Có ( widehat{B} = dfrac{180^{circ} - widehat{A}}{2} = dfrac{180^{circ} - 50^{circ}}{2} = 65^{circ} Rightarrow widehat{C} = 65^{circ} )
Có ( widehat{BDE} + widehat{B} = 180^{circ} Rightarrow widehat{BDE} = 180^{circ} - 65^{circ} = 115^{circ} )
Có BDEC là hình thang cân (Rightarrow widehat{DEC} = widehat{BDE} = 115^{circ} )
Câu 4 (Trường THCS Trần Quang Khải - Khánh Hòa)
Cho tam giác ABC cân tại A. I là trung điểm của AC. Lấy điểm D sao cho I là trung điểm của BD.
a) Chứng minh tứ giác ADCB là hình bình hành. b) Đường thẳng đi qua điểm D và song song với AC cắt BC tại điểm E. Chứng minh ( AE = BD ).
Hướng dẫn:
a) Xét tứ giác ADCB có ( BI = ID = dfrac{1}{2} BD; AI = IC = dfrac{1}{2} AC ) (gt)
⇒ ADCB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
b) Có ADCB là hình bình hành ⇒ ( AD // BC )
Xét tứ giác ADEC có ( AD // CE; AC // DE ) (gt)
⇒ ADEC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
⇒ ( DE // AC ) mà (widehat{ BCA }) và ( widehat{BED }) ở vị trí đồng vị
⇒ ( widehat{BCA} = widehat{BED} ) lại có ( widehat{ABC} = widehat{BCA} ) (do ( triangle ABC) cân tại A)
⇒ ( widehat{ABC} = widehat{BED} ) ( = ( widehat{BCA} ))
Xét tứ giác ADEB có ( AD // BE ) ⇒ ADEB là hình thang
Lại có ( widehat{ABE} = widehat{BED} ) ⇒ ADEB là hình thang cân ⇒ ( AE = BD )
Câu 5 (Trường THCS Võ Hoành Trang - Hồ Chí Minh)
Cho tam giác ( ABC ) nhọn (( AB < AC )). D là trung điểm của ( AB ). Trên tia đối của tia ( DC ) lấy điểm F sao cho ( DF = DC ).
a) Chứng minh tứ giác ( AFBC ) là hình bình hành.
b) Gọi E là trung điểm của ( AC ). Kẻ đường thẳng qua E vuông góc với tia phân giác của góc ( widehat{ABC}) tại I và cắt đường thẳng AB, BC lần lượt tại G, H. Chứng minh ( AG = CH ).
Hướng dẫn:
a) Xét tứ giác ( AFBC ) có ( AD = DB = dfrac{1}{2}AB; CD = FD = dfrac{1}{2}CF ) (gt).
⇒ ( ABFC ) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
⇒ ( AF parallel BC ).
b) Gọi J là giao của ( GH ) và ( AF ).
Xét ( triangle AJE ) và ( triangle CHE ) có:
( AE = EC ) (gt)
( widehat{JEA} = widehat{HEC} ) (hai góc đối đỉnh)
( widehat{JAE} = widehat{HCE} ) (do ( AF parallel CH ))
⇒ ( triangle AJE = triangle CHE ) (g.c.g)
⇒ ( AJ = CH ) (hai cạnh tương ứng).
Xét ( triangle BGH ) có ( BI ) là đường cao, ( BI ) là đường phân giác của ( triangle BGH ).
⇒ ( triangle BGH ) cân tại B (dấu hiệu nhận biết).
⇒ ( widehat{H} = widehat{BGH}) mà ( widehat{H} = widehat{AJG}) (do ( AJ parallel CH ) ), ( widehat{JGA} = widehat{BGH}) (hai góc đối đỉnh)
⇒( widehat{JGA} = widehat{GJA}) ( Rightarrow triangle JAG ) cân tại A.
⇒ ( AJ = AG ) mà ( AJ = CH ) ⇒ ( AG = CH ).
Câu 6 (Trường THCS Lê Quý Đôn - Thái Bình)
Cho hình bình hành ( ABCD ). Trên cạnh ( AB ) lấy điểm M, trên cạnh ( DC ) lấy điểm N sao cho ( AM = CN ).
a) Chứng minh ( AN parallel CM ).
b) Gọi O là giao điểm của ( AC ) và ( BD ). Chứng minh O là trung điểm của ( MN ).
Hướng dẫn:
a) Có ( ABCD ) là hình bình hành ⇒ ( AB parallel CD ).
Xét tứ giác ( AMCN ) có ( AM parallel CN ); ( AM = CN ) (gt).
⇒ ( AMCN ) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
⇒ ( AN parallel CM ) (tính chất hình bình hành).
b) Có ( ABCD ) là hình bình hành.
⇒ O là trung điểm của ( AC ) và ( BD ).
Do ( AMCN ) là hình bình hành.
⇒ Hai đường chéo ( AC ) và ( MN ) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Mà O là trung điểm của ( AC ).
⇒ O cũng là trung điểm của ( MN ).
Câu 7 (Trường THCS Vạn Xuân - Hà Nội)
Cho hình thoi ( ABCD ) có ( widehat{A} = 60^circ ). Kẻ ( BH ) vuông góc với ( AD ), trên tia đối của tia ( HB ) lấy điểm E sao cho ( HE = BH ).
a) Chứng minh rằng ( ABDE ) là hình thoi.
b) Ba điểm E, D, C thẳng hàng.
c) ( EB = AC ).
Hướng dẫn:
a) Xét ( triangle ABD ) có ( AB = AD ) (do ( ABCD ) là hình thoi).
⇒ ( triangle ABD ) cân tại A mà ( widehat{BAD} = 60^circ ) ⇒ ( triangle ABD ) đều ⇒ ( widehat{ABD} = 60^circ ).
Mà ( BH perp AD ) ⇒ ( AH = HD = dfrac{1}{2}AD ) (tính chất tam giác đều).
Xét tứ giác ( ABDE ) có: ( AH = HD = dfrac{1}{2}AD; quad BH = HE = dfrac{1}{2}BE ).
⇒ ( ABDE ) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Mà ( AD perp BE ) ⇒ ( ABDE ) là hình thoi.
b) Có ( ABDE ) là hình thoi ⇒ ( widehat{AED} = widehat{ABD} = 60^circ; widehat{BAE} = widehat{BDE} ).
Lại có ( widehat{BDC} + widehat{AED} + widehat{BAE} + widehat{BAD} = 360^circ ) ⇒ ( widehat{BDE} = 120^circ ).
Vì ( AB parallel CD ) ⇒ ( widehat{ABD} = widehat{BDC} ) (hai góc so le trong bằng nhau).
⇒ ( widehat{BDC} = 60^circ ).
Có ( widehat{EDB} + widehat{BDC} = 120^circ + 60^circ = 180^circ ).
⇒ E, D, C thẳng hàng.
c) Có ( widehat{BCD} = widehat{BAD} = 60^circ ) (do ( ABCD ) là hình thoi).
Mà ( widehat{AED} = 60^circ ) ⇒ ( widehat{AED} = widehat{BCD} ).
Xét tứ giác ( ABCE ) có ( AB parallel CE ).
⇒ ( ABCE ) là hình thang mà ( widehat{AEC} = widehat{BCE} ).
⇒ ( ABCE ) là hình thang cân.
⇒ ( BE = AC ) (tính chất hình thang cân).
Câu 8 (Trường THCS Tân Bình - Hải Dương)
Cho tam giác ( ABC ) vuông tại ( A ) (( AB > AC )), trung tuyến ( AM ). Kẻ ( MD perp AB ) tại ( D ), ( ME perp AC ) tại ( E ).
a) Chứng minh tứ giác ( ADME ) là hình chữ nhật.
b) Gọi ( O ) là trung điểm của ( ME ). Chứng minh ( DM = EC ) và ba điểm ( D, O, C ) thẳng hàng.
c) Tam giác ( ABC ) cần thêm điều kiện gì để tứ giác ( ADME ) là hình vuông.
Hướng dẫn:
a) Có ( MD perp AB ); ( ME perp AC ) ⟹ ( widehat{MDA} = widehat{MEA} = 90^circ )
Xét tứ giác ( ADME ) có: ( widehat{MDA} = widehat{MEA} = widehat{DAE} = 90^circ ) ⟹ ( ADME ) là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết)
b) Xét ( triangle ABC ) có ( widehat{BAC} = 90^circ ); ( AM ) là trung tuyến của ( triangle ABC ) ⟹ ( AM = MC = BM = dfrac{1}{2}BC )
⟹ ( triangle AMC ) cân tại ( M ) (Dấu hiệu nhận biết)
Mà ( ME perp AC ) (gt) ⟹ ( AE =EC= dfrac{1}{2}EC )
Mà ( DM = EC ) (Do ( ADME ) là hình chữ nhật) ⟹ ( DM = EC (= AE) )
Xét tứ giác ( DMCE ) có ( DM parallel EC ); ( DM = EC ) ⟹ ( DMCE ) là hình bình hành.
Do ( CD ) và ( ME ) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Mà ( O ) là trung điểm ( ME ) ⟹ ( O ) cũng là trung điểm ( CD ) ⟹ (C, O,D ) thẳng hàng
c) Giả sử (DMEA) là hình vuông
⟹ (AM) là tia phân giác của (widehat{BAC})
Xét ( triangle ABC ) có (AM) là đường trung tuyến, (AM) là đường phân giác của ( triangle ABC )
⟹ ( triangle ABC ) cân tại ( A ) mà (widehat{BAC}=90^circ)
⟹ ( triangle ABC ) vuông cân tại ( A )
Vậy để ( DMEA ) là hình vuông, ( triangle ABC ) cần thêm điều kiện là ( triangle ABC ) vuông cân tại ( A ).
Câu 9 (Trường THCS Chương Dương - Hà Nội)
Cho ( triangle ABC ) cân tại A (( widehat{A} < 90^circ )). Kẻ ( BE perp AC ) tại ( E ) và ( CD perp AB ) tại ( D ).
a) Chứng minh ( BE = CD ).
b) Chứng minh tứ giác ( BDEC ) là hình thang cân.
c) Gọi ( I ) là giao điểm của ( BE ) và ( CD ), tìm điều kiện của ( triangle ABC ) để ( I ) cách đều 3 cạnh của ( triangle ABC ) và khi đó chứng minh ( BD = DE = EC ).
Hướng dẫn:
a) Có ( triangle ABC ) cân tại ( A ) (gt) ⟹ ( AB = AC ); ( widehat{ABC} = widehat{ACB} ) (tính chất tam giác cân)
Xét ( triangle BDC ) và ( triangle BEC ) có:
BC chung
( widehat{DBC} = widehat{BCE} )
( widehat{BDC} = widehat{BEC} = 90^circ ) (do ( CD perp AB ); ( BE perp AC ))
⟹ ( triangle BDC = triangle CEB ) (cạnh huyền - góc nhọn) ⟹ ( BD = CE ); ( BE = CD ) (hai cạnh tương ứng).
b) Có ( AB -BD = AC - CE ) ⟹ ( AD = AE ).
Xét ( triangle ADE ) có ( AD = AE ) (gt) ⟹ ( triangle ADE ) cân tại ( A ) (định nghĩa) ⟹ ( widehat{ADE} = widehat{AED} ) (tính chất tam giác cân)
Có ( widehat{ADE}+widehat{AED} + widehat{BAC} = 180^circ ) ⟹ ( 2widehat{ADE} + widehat{BAC} = 180^circ ) ⟹ ( widehat{ADE} = dfrac{180^circ - widehat{BAC}}{2} )
Có ( widehat{ABC} + widehat{BCA} + widehat{BAC} = 180^circ ) ⟹ ( 2widehat{ABC} + widehat{BAC} = 180^circ ) ⟹ ( widehat{ABC} = dfrac{180^circ - widehat{BAC}}{2} )
⟹ ( widehat{ABC} = widehat{ADE} ) mà ( widehat{ABC} ) và ( widehat{ADE} ) ở vị trí đồng vị ⟹ ( BC parallel DE ) ⟹ ( BDEC ) là hình thang.
Lại có ( widehat{ABC} = widehat{ACB} ) ⟹ ( BDEC ) là hình thang cân.
c) Giả sử ( I ) cách đều ba cạnh của ( triangle ABC ).
⟹ ( I ) là giao của ba đường phân giác trong của ( triangle ABC ). ⟹ ( CI ) là tia phân giác của ( widehat{BCA} ).
Xét ( triangle ACB ) có ( CD ) là đường cao, ( CD ) cũng là đường phân giác trong của ( triangle ACB ).
⟹ ( triangle ABC ) cân tại ( C ) ⟹ ( widehat{BAC} = widehat{ABC} ) mà ( widehat{ABC} = widehat{ACB} )
⟹ ( widehat{BAC} = widehat{ABC} = widehat{ACB} ) ⟹ ( triangle ABC ) đều.
⟹ ( widehat{BAC} = 60^circ ) mà ( triangle ADE ) cân tại ( A ) ⟹ ( triangle ADE ) đều ⟹ ( AD = DE = EA ).
Mà ( AD = DB ); ( CE = EA ) (do ( triangle ABC ) đều; ( CD perp AB ); ( BE perp AC ))
⟹ ( BD = DE = EA ).
Vậy ( triangle ABC ) đều thì điểm ( I ) cách đều ba cạnh của ( triangle ABC ), khi đó ( BD = DE = EA ).
Câu 10 (Trường THCS Văn Quán - Hà Nội)
Cho tam giác MNP nhọn có ( MN < MP ). Lấy điểm A trên cạnh MP (A khác M và P), từ A kẻ đường thẳng song song với NP cắt MN tại B, từ A kẻ đường thẳng song song với MN cắt NP tại C.
a) Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành. b) Từ B kẻ ( BH perp AN ), từ C kẻ ( CK perp AN ) (I, K thuộc AN). Chứng minh ( BH = CK ). c) Kéo dài BH cắt NP tại I, kéo dài CK cắt AB tại G, BC cắt HK tại O. Chứng minh G, O, I thẳng hàng.
Hướng dẫn
a) Xét tứ giác ABNC có ( AB // NC ), ( AC // BN ) (gt) ( Rightarrow ) ABNC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
b) Có ABNC là hình bình hành
( Rightarrow AB = CN ), ( AB // CN ) mà ( widehat{ CNA}) và ( widehat{ BAN } )ở vị trí so le trong
( Rightarrow widehat{CNA} = widehat{BAN} ).
Xét ( triangle ABH ) và ( triangle NCK ) có:
(widehat{CNK} = widehat{BAH} ) ( CN = AB ) (widehat{ BHA }= widehat{ CKN} = 90^circ ) (do ( BHperp AN; CKperp AN)) ( Rightarrow triangle ABH = triangle NCK ) (cạnh huyền - góc nhọn) ( Rightarrow BH = CK ) (hai cạnh tương ứng)
c) Có ( BH perp AN; CK perp AN Rightarrow BH // CK ) Xét tứ giác GBIC: ( BI // CG ), ( BG // CI ) ( Rightarrow GBIC ) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). ( Rightarrow GI ) và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Mà O là trung điểm BC (do ABNC là hình bình hành) ( Rightarrow O ) cũng là trung điểm của ( GI ) ( Rightarrow G, O, I ) thẳng hàng.
