MATHX gửi các phụ huynh và các em học sinh các câu cuối đề giữa học kì 1 toán 7 (Phần 1)
Bài 1. (Mỹ Tiến - Nam Định)
a) Chứng minh rằng: ( B = dfrac{1}{3} + dfrac{1}{3^2} + dfrac{1}{3^3} + ldots + dfrac{1}{3^{2020}} + dfrac{1}{3^{2021}} < dfrac{1}{2} ) b) Rút gọn biểu thức: ( A = dfrac{2^{12} cdot 3^5 - 4^6 cdot 81}{(2^2 cdot 3)^6 + 8^4 cdot 3^5} ).
Hướng dẫn:
a) Chứng minh rằng: ( B = dfrac{1}{3} + dfrac{1}{3^2} + dfrac{1}{3^3} + ldots + dfrac{1}{3^{2020}} + dfrac{1}{3^{2021}} < dfrac{1}{2} )
Ta có: ( 3B = 1 + dfrac{1}{3} + dfrac{1}{3^2} + ldots + dfrac{1}{3^{2019}} + dfrac{1}{3^{2020}} )
( 3B - B = 1 - dfrac{1}{3^{2021}} )
( 2B = 1 - dfrac{1}{3^{2021}} < 1 )
Do đó ( B < dfrac{1}{2} )
b) Rút gọn biểu thức: ( A = dfrac{2^{12} cdot 3^5 - 4^6 cdot 81}{(2^2 cdot 3)^6 + 8^4 cdot 3^5} )
Ta có: ( A = dfrac{2^{12} cdot 3^5 - 2^{12} cdot 3^4}{2^{12} cdot 3^6 + 2^{12} cdot 3^5} = dfrac{2^{12} cdot 3^4 (3 - 1)}{2^{12} cdot 3^5 (3 + 1)} )
( A = dfrac{2^{12} cdot 3^4 cdot 2}{2^{12} cdot 3^5 cdot 4} = dfrac{1}{6} )
Bài 2. (Tân Bình - Hải Dương)
Chứng tỏ rằng: ( S = dfrac{1}{5^2} + dfrac{2}{5^3} + dfrac{3}{5^4}+ldots + dfrac{99}{5^{100}} < dfrac{1}{16} )
Hướng dẫn:
( S = dfrac{1}{5^2} + dfrac{2}{5^3} + dfrac{3}{5^4} + ldots + dfrac{99}{5^{100}} ) ( 5S = dfrac{1}{5} + dfrac{2}{5^2} + dfrac{3}{5^3} + ldots + dfrac{99}{5^{99}} ) ( Rightarrow 5S - S = dfrac{1}{5} + left( dfrac{2}{5^2} - dfrac{1}{5^2} right) + left( dfrac{3}{5^3} - dfrac{2}{5^3} right) + ldots + left( dfrac{99}{5^{99}} - dfrac{98}{5^{99}} right) - dfrac{99}{5^{100}} ) ( 4S = dfrac{1}{5} + dfrac{1}{5^2} + dfrac{1}{5^3} + ldots + dfrac{1}{5^{99}} - dfrac{99}{5^{100}} ) Đặt ( A = dfrac{1}{5} + dfrac{1}{5^2} + ldots + dfrac{1}{5^{99}} ) ( A = dfrac{1}{5} + dfrac{1}{5^2} + dfrac{1}{5^3} + ldots + dfrac{1}{5^{100}} ) ( A - dfrac{A}{5} = dfrac{1}{5} + left( dfrac{1}{5^2} - dfrac{1}{5^2} right) + left( dfrac{1}{5^3} - dfrac{1}{5^3} right) + ldots + left( dfrac{1}{5^{99}} - dfrac{1}{5^{99}} right) + dfrac{1}{5^{100}} - dfrac{1}{5^{100}} ) ( dfrac{4}{5} A = dfrac{1}{5} - dfrac{1}{5^{100}} Rightarrow A = dfrac{1}{4} left( 1 - dfrac{1}{5^{99}} right) ) ( 4S = dfrac{1}{4} - dfrac{1}{4 cdot 5^{99}} - dfrac{99}{5^{100}} = dfrac{1}{4} - dfrac{1}{4 cdot 5^{99}} - dfrac{99}{5^{100}} = dfrac{1}{4} - dfrac{401}{20 cdot 5^{99}} ) ( S = dfrac{1}{16} - dfrac{401}{80 cdot 5^{99}} < dfrac{1}{16} ) Vậy ( S < dfrac{1}{16} )
Bài 3. (Ngô Gia Tự - Hà Nội)
Cho biểu thức ( A = 1 + dfrac{1}{17} + dfrac{1}{17^2} + dfrac{1}{17^3} + ldots + dfrac{1}{17^{20}} ).
Chứng tỏ rằng (A = dfrac{17^{21} - 1}{16 cdot 13^{20}} )
Hướng dẫn:
( A = 1 + dfrac{1}{17} + dfrac{1}{17^2} + dfrac{1}{17^3} + ldots + dfrac{1}{17^{20}} ) ( dfrac{1}{17} cdot A = dfrac{1}{17} + dfrac{1}{17^2} + dfrac{1}{17^3} + ldots + dfrac{1}{17^{21}} ) ( A - dfrac{1}{17}A = left( 1 + dfrac{1}{17} + dfrac{1}{17^2} + dfrac{1}{17^3} + ldots + dfrac{1}{17^{20}} right) - left( dfrac{1}{17} + dfrac{1}{17^2} + dfrac{1}{17^3} + ldots + dfrac{1}{17^{21}} right) ) ( dfrac{16}{17}A = 1 - dfrac{1}{17^{21}} = dfrac{17^{21} - 1}{17^{21}} ) ( A = dfrac{17^{21} - 1}{17^{21}} : dfrac{16}{17} = dfrac{17^{21} - 1}{16 cdot 17^{20}} ) ( Rightarrow A = dfrac{17^{21} - 1}{16 cdot 13^{20}} )
Bài 4. (Ngô Quyền - Hải Phòng)
So sánh A và B biết: ( A = dfrac{2022^{2022} + 1}{2022^{2023} + 1} )và ( B = dfrac{2022^{2021} + 1}{2022^{2022} + 1} )
Hướng dẫn:
( A = dfrac{2022^{2022} + 1}{2022^{2023} + 1} ) ( 2022A = dfrac{2022^{2023} + 2022}{2022^{2023} + 1} ) ( 2022A = dfrac{2022^{2023} + 1 + 2021}{2022^{2023} + 1} ) ( 2022A = 1 + dfrac{2021}{2022^{2023} + 1} quad (1) ) ( B = dfrac{2022^{2021} + 1}{2022^{2022} + 1} ) ( 2022B = dfrac{2022^{2022} + 2022}{2022^{2022} + 1} ) ( 2022B = dfrac{2022^{2022} + 1 + 2021}{2022^{2022} + 1} ) ( 2022B = 1 + dfrac{2021}{2022^{2022} + 1} quad (2) ) Từ ( (1) ) và ( (2) ) ta có ( A < B ).
Bài 5. (Mỹ Hào - Hưng Yên)
Tìm số nguyên x thỏa mãn:( dfrac{2024}{x(x+2)} + dfrac{2024}{(x+2)(x+4)} + dfrac{2024}{(x+4)(x+6)} - dfrac{1012}{x} = dfrac{1}{2} )
Hướng dẫn:
Ta có: (dfrac{b-a}{acdot b}=dfrac{1}{a}-dfrac{1}{b})
Áp dụng vào bài ta có:
( dfrac{2024}{x(x+2)} + dfrac{2024}{(x+2)(x+4)} + dfrac{2024}{(x+4)(x+6)} - dfrac{1012}{x} = dfrac{1}{2} ) ( 1012 left( dfrac{2}{x(x+2)} + dfrac{2}{(x+2)(x+4)} + dfrac{2}{(x+4)(x+6)} right) - dfrac{1012}{x} = dfrac{1}{2} ) ( 1012 left( dfrac{1}{x} - dfrac{1}{x+2} + dfrac{1}{x+2} - dfrac{1}{x+4} + dfrac{1}{x+4} - dfrac{1}{x+6} right) - dfrac{1012}{x} = dfrac{1}{2} ) ( -dfrac{1012}{x+6} = dfrac{1}{2} ) ( x + 6 = -2024 ) ( x = -2030 )
Bài 6. (Cái Rồng - Quảng Ninh)
Cho ( A = dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{2^4} + dfrac{1}{2^6} + ldots + dfrac{1}{2^{100}} ). Chứng minh rằng ( A < dfrac{1}{3} )
Hướng dẫn:
( A = dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{2^4} + dfrac{1}{2^6} + ldots + dfrac{1}{2^{100}} )
( 4A = 1 + dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{2^4} + ldots + dfrac{1}{2^{98}} )
( 4A - A = left( 1 + dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{2^4} + ldots + dfrac{1}{2^{98}} right) - left( dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{2^4} + ldots + dfrac{1}{2^{100}} right) )
( 3A = left( 1 - dfrac{1}{2^{100}} right) + left( dfrac{1}{2^2} - dfrac{1}{2^2} right) + left( dfrac{1}{2^4} - dfrac{1}{2^4} right) + ldots + left( dfrac{1}{2^{98}} - dfrac{1}{2^{98}} right) )
( 3A = 1 - dfrac{1}{2^{100}} )
Vì ( 1 - dfrac{1}{2^{100}} < 1 ) nên ( 3A < 1 ) suy ra ( A < dfrac{1}{3} ).
Bài 7. (Vụ Bản - Nam Định)
a) Tìm x và y sao cho ( (x - 7)^2 + (1 - 2y)^2 = 0 )
b) Cho ( A = dfrac{1}{7} + dfrac{1}{7^2} + dfrac{1}{7^3} + ldots + dfrac{1}{7^{2023}} + dfrac{1}{7^{2024}} ). Tìm x để ( 6A = 1 - dfrac{1}{7^{x}} )
Hướng dẫn:
Ta có ( (x - 7)^2 ge 0 ) với mọi ( x ). Dấu “=” xảy ra khi ( x - 7 = 0 Rightarrow x = 7 ). Ta có ( (1 - 2y)^2 ge 0 ) với mọi ( y ). Dấu “=” xảy ra khi ( 1 - 2y = 0 Rightarrow y = dfrac{1}{2} ). ( Rightarrow (x - 7)^2 + (1 - 2y)^2 ge 0 ) với mọi ( x, y ). Vậy ( (x - 7)^2 + (1 - 2y)^2 = 0 ) khi ( (x - 7)^2 = 0 ) và ( (1 - 2y)^2 = 0 ). Khi đó ( x = 7 ) và ( y = dfrac{1}{2} ). Ta có ( A = dfrac{1}{7} + dfrac{1}{7^2} + dfrac{1}{7^3} + ldots + dfrac{1}{7^{2023}} + dfrac{1}{7^{2024}} ). ( 7A = 7 left( dfrac{1}{7} + dfrac{1}{7^2} + dfrac{1}{7^3} + ldots + dfrac{1}{7^{2023}} + dfrac{1}{7^{2024}} right) ) ( 7A - A = 1 - dfrac{1}{7^{2024}} ) ( 6A = 1 - dfrac{1}{7^{2024}} ) Tìm được ( x = 2024 ).
Bài 8. (Nguyễn Công Trứ - Hà Nội)
Cho ( dfrac{4^x}{2^{x+y}} = 8 ) và (dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}} = 243) với x;y là các số tự nhiên. Tính x.y?
Hướng dẫn:
( dfrac{4^x}{2^{x+y}} = 8 Rightarrow dfrac{2^{2x}}{2^{x+y}} = 2^3 Rightarrow 2x - (x + y) = 3 Rightarrow x - y = 3 )
(dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}} = 243) ⇒ (dfrac{3^{2(x+y)}}{3^{5y}} = 3^5) ⇒ (2(x+y) - 5y = 5) ⇒ (2(x - y) - y = 5) ⇒ (2 cdot 3 - y = 5) ⇒ (y = 1) ⇒ (x = 4) ⇒ (x cdot y = 4)
