(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Giới hạn dãy số

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn→+∞un=0 hay un → 0 khi n→+∞.

Chú ý. Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

• limn→+∞1nk=0 với k là một số nguyên dương;

• limn→+∞qn=0 nếu |q| < 1;

• Nếu un≤vn với mọi n ≥ 1 và limn→+∞vn=0 thì limn→+∞un=0.

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu limn→+∞un−a=0, kí hiệu limn→+∞un=a hay un → a khi n→+∞.

Chú ý. Nếu un = c (c là hằng số) thì limn→+∞un=c.

limn→+∞un=a khi và chỉ khi limn→+∞un−a=0.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

Tổng quát, ta có các quy tắc tính giới hạn sau đây:

a) Nếu limn→+∞un=a và limn→+∞vn=b thì

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Giới hạn dãy số

b) Nếu un≥0 với mọi n và limn→+∞un=a thì a ≥ 0 và limn→+∞un=a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q. Khi đó Sn=u1+u2+…+un=u11−qn1−q.

Vì |q| < 1 nên qn → 0 khi n→+∞. Do đó, ta có

limn→+∞Sn=limn→+∞u11−q−u11−qqn=u11−q.

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), và kí hiệu là S=u1+u2+…+un+…

Như vậy S=u11−q q<1.

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→+∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn→+∞un=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞.

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn -∞ khi n→+∞ nếu limn→+∞−un=+∞, kí hiệu limn→+∞un=−∞ hay un→−∞ khi n→+∞.

Theo định nghĩa trên, ta có:

• limn→+∞nk=+∞, với k là số nguyên dương;

• limn→+∞qn=+∞, với q > 1.

Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:

• Nếu limn→+∞un=a và limn→+∞vn=+∞ (hoặc limn→+∞vn=−∞) thì limn→+∞unvn=0.

• Nếu limn→+∞un=a>0, limn→+∞vn=0 và vn > 0 với mọi n thì limn→+∞unvn=+∞.

• Nếu limn→+∞un=+∞ và limn→+∞vn=a>0 thì limn→+∞unvn=+∞.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Tính giới hạn dãy số

1.1. Phương pháp giải

Cần chú ý:

(1) Giới hạn dãy số đặc biệt:

limn→+∞1n=0;

limn→+∞1nk=0k∈ℤ+;

limn→+∞qn=0 q<1;

limn→+∞C=C.

(2) Định lí: Nếu limn→+∞un=a, limn→+∞vn=b thì:

(3) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

Sn=u1+u1q+u1q2+…+u1qn=u11−q q<1.

(4) Một số công thức liên hợp cần nhớ:

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: limn→+∞−4n2+n+22n2+n+1.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: limn→+∞9n2+2n−3n4n+3.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: limn→+∞1+2+22+…+2n1+3+32+…+3n.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

a) limn→+∞4n2+2n−2n;

b) limn→+∞n2+2n+3−n2+n33.

Hướng dẫn giải

* Lưu ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên trước tiên chúng ta cần sử dụng phép nhân liên hợp để khử dạng ∞ - ∞ và k∞−∞.

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau:

a) limn→+∞11⋅3+13⋅5+…+12n−12n+1;

b) limn→+∞1−1221−132…1−1n2.

Hướng dẫn giải

2. Dạng toán 2: Tìm giới hạn bằng cách dùng định lý kẹp

2.1. Phương pháp giải

Nếu un≤vn,∀n và limn→+∞vn=0 thì limn→+∞un=0.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:

a) un=1+sinn44n+5.

b) un=sin4nn+3.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ∀n∈ℕ* thì sinn4≤1 => un=1+sinn44n+5≤24n+5≤24n=12n.

Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì limn→+∞1nk=0” ta được limn→+∞1n=0.

Từ đó suy ra limn→+∞un=0.

b) Ta có ∀n∈ℕ* thì sin4n≤1 => un=sin4nn+3≤1n+3≤1n=1n.

* Chú ý: Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì limn→+∞1nk=0” ta được limn→+∞1n=0. Từ đó suy ra limn→+∞un=0.

3. Dạng toán 3: Tìm giới hạn của tổng cấp số nhân lùi vô hạn

3.1. Phương pháp giải

Phương pháp chung:

- Sử dụng công thức: S=u1+u2+u3…=u11−q, với |q| < 1.

- Để biểu diễn một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số, ta biểu diễn số đó thành tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và suy ra kết quả.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính các tổng sau:

a) S=13+132+..+13n+…

b) S = 16 - 8 + 4 -2 + ...

Hướng dẫn giải

a) Xét dãy số: un:13,132,…,13n,… là một cấp số nhân có u1=13,q=13.

Suy ra: S=13+132+…+13n=131−13=12.

b) Xét dãy số: un:16,−8,4,−2,… là một cấp số nhân có u1=16,q=−12.

Suy ra: S=16−8+4−2+…=161+12=323.

Ví dụ 2. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) a = 0,353535...

b) b = 5,231231...

Hướng dẫn giải

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tính giới hạn limn→+∞n2+12n+3.

A. 0.

B. 12.

C. 23.

D. 25.

Câu 2. Tính giới hạn limn→+∞9n2+2n−8n3+6n+13−n.

A. −16.

B. 16.

C. 13.

D. −13.

Câu 3. Tính giới hạn limn→+∞n2+n3+13+nnnn2+1+3.

A. 12.

B. 13.

C. 23.

D. 1.

Câu 4. Tính giới hạn limn→+∞n−n2−15+n+n2−15n5.

A. 64.

B. 32.

C. 16.

D. 128.

Câu 5. Tính giới hạn sau: limn→+∞−2n2+5n3n−2n.

A. -∞.

B. 5.

C. -5.

D. +∞.

Câu 6. Tính giới hạn sau: limn→+∞3n3−n2+1.

A. -∞.

B. 3.

C. -3.

D. +∞.

Câu 7. Tính giới hạn sau: limn→+∞nn+n+n−n.

A. -∞.

B. 1.

C. -1.

D. +∞.

Câu 8. Tính giới hạn sau: limn→+∞nn2+2n+3−n+n33.

A. -∞.

B. 12.

C. -2.

D. +∞.

Câu 9. Tính giới hạn sau: limn→+∞n6−7n3−5n+83n+2.

A. -∞.

B. -7.

C. 1.

D. +∞.

Câu 10. Tính giới hạn sau: limn→+∞n2−2cos3n+2.

A. -∞.

B. 3.

C. -1.

D. +∞.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Tính giới hạn sau limn→+∞sinπn63n2+1.

Điền đáp án

Câu 17. Tổng sau có dạng: .

Tính A + b + c.

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho dãy tổng Sn=12⋅4+14⋅6+…+12n2n+2.

a) S1=18.

b) S2=16.

c) Sn=1212−12n+2.

d) limn→+∞Sn=12.

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Giới hạn hàm số

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn∈(a;b),xn≠x0 và xn→x0, ta có fxn→L, kí hiệu limx→x0f(x)=L hay fxn→L khi x→x0.

Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:

a) Nếu limx→x0f(x)=L và limx→x0g(x)=M thì

Lưu ý: limx→x0c=c với c là hằng số.

limx→x0xn=x0n, ∀n∈ℕ.

b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x∈(a;b)x0 và limx→x0f(x)=L thì L ≥ 0 và limx→x0f(x)=L.

*Giới hạn một bên:

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thoả mãn x0 < xn < b và xn → x0, ta có fxn→L, kí hiệu limx→x0+f(x)=L.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thoả mãn a < xn < x0 và xn → x0, ta có fxn→L, kí hiệu limx→x0−f(x)=L.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;+∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có fxn→L, kí hiệu limx→+∞f(x)=L hay f(x) → L khi x → +∞.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞;b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → -∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < b và xn → -∞, ta có fxn→L, kí hiệu limx→−∞f(x)=L hay f(x) → L khi x → -∞.

Chú ý:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

• Với c là hằng số, ta có: limx→+∞c=c,limx→−∞c=c.

• Với k là một số nguyên dương, ta có: limx→+∞1xk=0,limx→−∞1xk=0.

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn vô cực

Giả sử khoảng (a;b) chứa x0 và hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) {x0}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn∈(a;b)x0,xn→x0, ta có fxn→+∞, kí hiệu limx→x0f(x)=+∞.

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn -∞ khi x → x0, kí hiệu limx→x0f(x)=−∞, nếu limx→x0[−f(x)]=+∞.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì thoả mãn x0<xn<b,xn→x0, ta có fxn→+∞, kí hiệu limx→x0+f(x)=+∞.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên trái nếu với dãy số (xn) bất kì thoả mãn a<xn<x0,xn→x0, ta có fxn→+∞, kí hiệu limx→x0−f(x)=+∞.

• Các giới hạn một bên limx→x0+f(x)=−∞ và limx→x0−f(x)=−∞ được định nghĩa tương tự.

Chú ý. Các giới hạn limx→+∞f(x)=+∞, limx→−∞f(x)=+∞, limx→+∞f(x)=−∞ và limx→−∞f(x)=−∞ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a;+∞), có giới hạn là -∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có fxn→−∞, kí hiệu limx→+∞f(x)=−∞ hay f(x) → -∞ khi x → +∞. Một số giới hạn đặc biệt:

+) limx→+∞xk=+∞ với k nguyên dương;

+) limx→−∞xk=+∞ với k là số nguyên chẵn;

+) limx→−∞xk=−∞ với k là số nguyên lẻ.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x).

Giả sử limx→x0f(x)=L≠0 và limx→x0g(x)=+∞ (hoặc -∞). Khi đó limx→x0f(x)g(x) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

• Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)g(x).

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x→x0+,x→x0.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Giới hạn hàm số dạng vô định

1.1. Phương pháp giải

Bài toán tìm giới hạn của hàm số dạng hữu tỷ:

L=limx→x0P(x)Q(x) trong đó Q(x0) = 0 và P(x0) = 0.

Phương pháp làm mất dạng vô định 00 bằng cách phân tích tử mẫu về dạng:

L=limx→x0x−x0⋅f(x)x−x0⋅g(x)=limx→x0f(x)g(x).

Chú ý:

• Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = (x - x1)(x - x2).

• an - bn = (a - b)an−1+an−2b+…+abn−2+bn−1.

• L=limx→x0P(x)Q(x) với P(x0) =Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn thức ta tách ghép hợp lý để nhân liên hợp đưa về dạng trên.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn A=limx→1x3−3x2+2x2−4x+3.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tìm giới hạn B=limx→2x4−5x2+4x3−8.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Tìm giới hạn A=limx→1xn−1xm−1m,n∈ℕ*.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Tìm giới hạn I=limx→02(3x+1−1)x.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Cho limx→1f(x)+1x−1=−1. Tính I=limx→1x2+xf(x)+2x−1.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 2020 và limx→0x2+ax+1−bx+1x=1010. Tìm a, b.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn limx→−5x2+mx+nx+5=3, hãy tính m.n.

Hướng dẫn giải

Vì limx→−5x2+mx+nx+5=3 nên x = -5 là nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0

=> -5m + n + 25 = 0 ⇔ n = -25 + 5m.

Khi đó limx→−5x2+mx+nx+5 = limx→−5x2+mx+5m−25x+5 = limx→−5(x−5+m) = m - 10

⇔ m = 13 ⇔ n = 40 => m.n = 520.

Ví dụ 8. Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ thỏa mãn limx→2f(x)−16x−2=12. Tính giới hạn limx→25f(x)−163−4x2+2x−8.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết có limx→2(f(x)−16)=0⇔limx→2f(x)=16.

2. Dạng toán 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định

2.1. Phương pháp giải

Bài toán tìm giới hạn dạng L=limx→±∞f(x)g(x) trong đó f(x);g(x)→±∞, khi x→±∞.

Phương pháp:

Bước 1. Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân từ xn rồi giản ước).

Bước 2. Nếu f(x) hoặc g(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu).

Bước 3. Sử dụng các kết quả sau đây để tính.

Các giới hạn đặc biệt:

limx→±∞c=c;limx→±∞cxk=0 với C là hằng số và k ∈ ℕ;

limx→+∞xk=+∞ với k nguyên dương; limx→−∞xk=−∞ với k lẻ, limx→−∞xk=+∞ với k chẵn.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính giới hạn limx→+∞x4+7x4+1.

Hướng dẫn giải

Chia cả tử và mẫu cho x4, ta được: limx→+∞x4+7x4+1=limx→+∞1+7x41+1x4=1.

Ví dụ 2. Tìm giới hạn limx→+∞2x−3x2+25x+x2+2.

Hướng dẫn giải

Ta có limx→+∞2x−3x2+25x+x2+2 = limx→+∞2−3+2x25+1+2x2=2−36.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn A=limx→−∞xx2+1−2x+12x3−23+1.

Hướng dẫn giải

A=limx→−∞xx2+1−2x+12x3−23+1 = limx→−∞x21+1x2−2x+1x2x2−2x33+1x=+∞.

3. Dạng toán 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định ∞ - ∞ và 0.∞

3.1. Phương pháp giải

Bài toán 1.

Tính giới hạn dạng L=limx→+∞(f(x)−g(x)), trong đó f(x);g(x)→+∞, khi x→±∞ hoặc f(x);g(x)→−∞, khi x→±∞.

Bài toán 2.

Tính giới hạn dạng L=limx→+∞f(x)⋅g(x), trong đó f(x)→0;g(x)→±∞, khi x→±∞.

Phương pháp: Ta sử dụng phương pháp nhân thêm lượng liên hợp và đưa về giới hạn dạng ∞∞.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn E=limx→+∞x2−x+1−x.

Hướng dẫn giải

Đây là giới hạn dạng ∞ - ∞, để tính giới hạn này ta nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho x. Lưu ý khi x → +∞ thì x2=x=x.

Ta có: E=limx→+∞−x+1x2−x+1+x=−12.

Ví dụ 2. Tìm giới hạn F=limx→−∞x4x2+1+2x.

Hướng dẫn giải

Đây là giới hạn dạng ∞ - ∞, để tính giới hạn này ta nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho x. Lưu ý khi x → -∞ thì x2=x=−x.

Ta có: F=limx→−∞x4x2+1−2x=−14.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn A=limx→+∞x3+2x2+13−2x2−x+x.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Tìm số thực a thỏa mãn limx→+∞a2x2+3+20232x+2024=12.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Tìm hai số thực a và b thỏa mãn limx→+∞4x2−3x+12x+1−ax−b=0.

Hướng dẫn giải

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tính giới hạn limx→12x−3x+1x2−1, ta được kết quả là

A. 0.

B. 43.

C. 58.

D. 2.

Câu 2. Tìm giới hạn D=limx→+∞x9x2+1−3x được kết quả là

A. −16.

B. 16.

C. −13.

D. 13.

Câu 3. Tìm giới hạn E=limx→−∞x2x3+23−x được kết quả là

A. −16.

B. −23.

C. 23.

D. −13.

Câu 4. Tìm giới hạn G=limx→−∞x3−3x23+x2−2x được kết quả là

A. 0.

B. 1.

C. −52.

D. −2.

Câu 5. Tìm giới hạn H=limx→+∞16x4+3x+14−4x2+2 được kết quả là

A. +∞.

B. -∞.

C. 43.

D. 0.

Câu 6. Kết quả giới hạn J=limx→+∞x2+x+1−2x3+x2−13+x=−ab, với ab là phân số dương tối giản. Tổng a + b bằng

A. 7.

B. 5.

C. 6.

D. 8.

Câu 7. Kết quả giới hạn K=limx→+∞xx2+2x−x3+3x23=ab, với ab là phân số dương tối giản. Tổng a + b bằng

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 2.

Câu 8. Cho a, b là các số dương. Biết M=limx→−∞4x2−ax+8x3+bx2+53=23. Giá trị lớn nhất của ab.

A. 89.

B. 163.

C. 38.

D. 83.

Câu 9. Tính giới hạn limx→1xm−xnx−1,m,n∈ℕ ta được kết quả là

A. +∞.

B. m - n.

C. m.

D. mn.

Câu 10. Biết limx→8x+1−x+193x+84−2=ab trong đó ab là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng a + b bằng

A. 137.

B. 138.

C. 139.

D. 140.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Tìm giới hạn A=limx→+∞(2x+1)3(x+2)20203−2x4(1−x)2019 được kết quả là...

Điền đáp án

Câu 17. Cho limx→1f(x)+1x+1=−1 và I=limx→1x2+xf(x)+2x+4=ab (a, b nguyên tố cùng nhau). Tính a + b.

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hàm số y = f(x) xác định bởi fx=x3−1x−1 khi x>1ax+2 khi x≤1.

a) f(x) = 8.

b) limx→1−fx=−a+2.

c) limx→1+fx=3.

d) a = 0 thì hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn khi x → 1.

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tính liên tục của hàm số

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu limx→x0f(x)=fx0. Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Định nghĩa 2:

• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và limx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b).

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

3. Một số định lí cơ bản

3.1. Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ.

b) Hàm số phân thức hữu ti và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

3.2. Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;

b) Hàm số f(x)g(x) liên tục tại x0 nếu gx0≠0.

3.3. Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a)≠f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = M.

* Hệ quả

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại it nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập

1.1. Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K.

Hàm số liên tục tại x0 nếu limx→x0f(x)=fx0.

* Lưu ý:

• Nếu hàm số muốn liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.

• Hàm số y=f(x), khi x≠x0g(x), khi x=x0 liên tục tại x = x0 ⇔ limx→x0f(x)=gx0.

• Hàm số f(x)=f(x), khi x≥x0g(x), khi x < x0 liên tục tại điểm x = x0 khi và chi khi

limx→x0−f(x)=limx→x0−g(x)=fx0.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x)=x3−27x2−x−6275, khi x ≠ 3 khi x = 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 3.

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên ℝ.

Ta có f(3)=275;

Vậy hàm số liên tưc tại điểm x = 3.

Ví dụ 2. Cho hàm số . Tìm m đề hàm số liên tục tại điểm x = -1.

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên ℝ. Tại điểm x = -1

Ví dụ 3. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.

A. −3.

B. 2.

C. −23.

D. −2.

Hướng dẫn giải

2. Dạng toán 2: Chứng minh phương trình có nghiệm

2.1. Phương pháp giải

Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f(a).f(b) < 0.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình x2024 + 3x5 - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số f(x) = x2024 + 3x5 - 1 liên tục trên ℝ và f(0).f(1) = -3 < 0

Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình x2sinx + xcosx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số f(x) = x2sinx + xcosx + 1 liên tục trên ℝ và f(0).f(π) = -π + 1 < 0. Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;π).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x5+2x3+25x2+14x+2=3x2+x+1 có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với x5 + 2x3 + 25x2 + 14x + 2 = (3x2 + x + 1)2

⇔ x5 - 9x4 - 4x3 + 18x2 + 12x + 1 = 0.

Hàm số f(x) = x5 - 9x4 - 4x3 + 18x2 + 12x + 1 liên tục trên ℝ

Ta có: f(-2) = -95 < 0, f(-1) = 1 > 0, f−12=−1932 < 0

f(0) = 1 > 0, f(2) = -47 < 0, f(10) = 7921 > 0.

Ví dụ 4. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn −8+4a−2b+c>08+4a+2b+c<0. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + ax2 + bx + c và trục Ox là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox bằng 3. Chọn D.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục trên ℝ.

A. m = 3.

B. m = 4.

C. m = 5.

D. m = 6.

Câu 2. Cho hàm số Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. f(x) liên tục trên ℝ.

B. f(x) liên tục trên ℝ {0}.

C. f(x) liên tục trên ℝ {1}.

D. f(x) liên tục trên ℝ {0;1}.

Câu 3. Cho hàm số Tìm k để f(x) gián đoạn tại x = 1.

A. k≠±2.

B. k ≠ 2.

C. k ≠ -2.

D. k≠±1.

Câu 4. Cho hàm số f(x)=cosπx2 khi x≤1x−1 khi x>1. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục tại tại x = 1 và x = -1.

B. Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm x = -1.

C. Hàm số không liên tục tại tại x = 1 và x = -1.

D. Hàm số liên tục tại x = -1, không liên tục tại điểm x = 1.

Câu 5. Tìm a để các hàm số liên tục tại x = 0.

A. 12.

B. 14.

C. −16.

D. 1.

Câu 6. Tìm a để các hàm số liên tục tại x = 1.

A. 12.

B. 14.

C. 1.

D. 34.

Câu 7. Cho hàm số , m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 0.

A. m=12.

B. m = 0.

C. m = 1.

D. m=−12.

Câu 8. Cho hàm số f(x)=sinx, x≤π2ax+b,x>π2. Giá trị của a, b để hàm số liên tục trên ℝ:

A. a=2πb=1.

B. a=2πb=2.

C. a=1πb=0.

D. a=2πb=0.

Câu 9. Cho hàm số . Tìm b để f(x) liên tục tại x = 3.

A. 3.

B. −3.

C. 233.

D. −233.

Câu 10. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.

A. −3.

B. 2.

C. −23.

D. −2.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho hàm số . Giá trị của a để hàm số liên tục tại x0 = 1 là a = ...

Điền đáp án

Câu 17. Cho hàm số f(x)=sinx khi cosx≥01+cosx khi cosx<0. Hàm số f(x) có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng (0;2025).

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây:

a) Hàm số liên tục trên ℝ

b) Hàm số liên tục trên (-∞;1).

c) Hàm số liên tục trên (4;+∞).

d) Hàm số gián đoạn liên trên (1;4).

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit