Bài 1: Số Phức

I. Số Phức

1. Số

Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình:

Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như vậy

2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng , trong đó được gọi là một số phức.

Đối với số phức dạng , ta nói là phần thực, là phần ảo của .

Tập hợp các số phức kí hiệu là .

Ví dụ 1: Các số sau là những số phức:

Số phức: có phần thực là , phần ảo là .

3. Số phức bằng nhau

Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

và

Ví dụ 2: Tìm các số thực và biết

Giải: Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau, ta có:

Vậy và

CHÚ Ý

Mỗi số thực được coi là một số phức với phần ảo bằng

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có .

Số phức được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là

Đặc biệt

Số được gọi là đơn vị ảo.

4. Biểu diễn hình học số phức

* Như trên đã thấy, mỗi số phức hoàn toàn xác định bởi cặp số thực .

* Điểm trong một hệ toạ độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức (H.67)

Ví dụ 3: ( H.68)

Điểm biểu diễn số phức .

Điểm biểu diễn số phức

Điểm biểu diễn số phức .

5. Môđun của số phức

Giả sử số phức được biểu diễn bởi điểm trên mặt phẳng toạ độ (H.69).

Độ dài được gọi là môđun của số phức và ký hiệu là .

Vậy hay . Dễ thấy .

Ví dụ 4:

z = 3 - 2i ⇒ | z | = =

6. Số phức liên hợp

Cho số phức ( a,b là các số thực ).Ta gọi là số phức liên hợp của và ký hiệu là

Ví dụ 5:

Bài tập luyện tập số phức của trường Nguyễn Khuyến

Câu 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết:

ĐÁP ÁN

phần thực là và phần ảo là

Câu 2. Tìm các số thực và , biết:

ĐÁP ÁN

Câu 3. Các điểm và trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức và

Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm.

ĐÁP ÁN

Ta có:

• trọng tâm tam giác là

Vậy hai tam giác và có cùng trọng tâm.

Câu 4. Tìm môđun của các số phức sau:

ĐÁP ÁN

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Nhuận Ngọc (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD)