Tổng hợp lý thuyết Chương 3 - Kết nối tri thức
A. Lý thuyết
1. Giá trị lượng giác của một góc
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x0; y0) trên nửa đường tròn đơn vị để xOM^=α.
- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 00 đến 1800
Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α. Khi đó:
+ sin của góc α là tung độ y0 của điểm M, được kí hiệu là sin α;
+ côsin của góc α là hoành độ x0 của điểm M, được kí hiệu là cos α;
+ Khi α ≠ 90° (hay x0 ≠ 0), tang của α là y0x0, được kí hiệu là tan α;
+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y0 ≠ 0), côtang của α là x0y0, được kí hiệu là cot α.
- Từ định nghĩa trên ta có:
tanα =sinαcosα(α≠90°);cotα=cosαsinα(α≠0°và α≠180°);tanα=1cotα (α∉{0°;90°;180°})
- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:
Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.
Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=1200. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Do xOM^=1200 và xOK^=900nên KOM^=300và MON^=600.
Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:
Ta có: cos 600 = 12 và cos 300 = 32
Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1
Suy ra ON = cosMON^.OM = cos600.1 = 12 và OK = cosMOK^.OM = cos300.1 = 32
Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên M−12;32
Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:
sin 1200 = 32
cos 1200 = −12
tan 1200 = sin1200cos1200=−3
cot 1200 = cos1200sin1200=−13.
Vậy sin 1200 = 32; cos 1200 = −12; tan 1200 = −3; cot 1200 = −13.
- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.
Ví dụ:
Ví dụ:
Chú ý:
+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.
+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím tương ứng bởi phím .
2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Đối với hai góc bù nhau, α và 180° - α, ta có:
sin (180° - α) = sin α;
cos (180° - α) = - cos α;
tan (180° - α) = - tan α (α ≠ 90°);
cot (180° - α) = - cot α (0° < α < 180°).
Chú ý:
- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau ; có côsin , tang, côtang đối nhau.
Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.
Hướng dẫn giải
Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:
Suy ra:
sin135° = sin45° = 22
cos135° = - cos45° = −22
tan135° = - tan45° = -1
cot135° = - cot45° = -1.
Vậy sin135° = 22; cos135° = −22; tan35° = -1 ; cot135° = -1.
- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Ví dụ:
Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.
Khi đó:
sin30° = cos60° = 12
tan30° = cot60° = 33.
3. Định lí côsin
Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA.
b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB.
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB . AC . cos 600 = 22 + 32 - 2.2.3. 12 = 7.
Suy ra BC = 7 (cm)
Vậy BC = 7 cm.
4. Định lí sin
Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA.
b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB.
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB . AC . cos 600 = 22 + 32 - 2.2.3. 12 = 7.
Suy ra BC = 7 (cm)
Vậy BC = 7 cm.
5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.
Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và góc của một tam giác trong các trường hợp sau:
+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.
+ Biết ba cạnh.
+ Biết một cạnh và hai góc kề.
Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, C^=60°, A^=100°.
Hướng dẫn giải
Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: A^+B^+C^=180°.
Suy ra B^=180°−(A^+C^)=180°−(100°+60°)=20°.
Áp dụng định lí sin, ta có: asinA=bsinB=csinC
⇔asin100°=12sin20°=csin60°
Suy ra:
a=12sin20°⋅sin100°≈34,6
c=12sin20°⋅sin60°≈30,4
Vậy tam giác ABC có: A^=100°, B^=20°, C^=60°; a ≈ 34,6 ;b = 12; c ≈ 30,4.
Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, BCA^=370. Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:
BCsinA=ABsinC
⇒ 5sinA=12sin370
⇒ sin A = 5.sin37012≈0,2508
⇒ A^ ≈ 14°31’
⇒ B^ ≈ 180° - (37° + 14°31’) = 128°29’.
Áp dụng định lí sin, ta có: ACsinB=ABsinC
⇒ AC = ABsinC⋅sinB = 12sin37°⋅sin128°29' ≈15,61 (m)
Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.
6. Công thức tính diện tích tam giác
Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:
+) S = pr = (a+b+c)r2
+) S = 12bc sin A = 12ca sin B =12ab sin C.
+) S = abc4R
+) Công thức Heron: S = p(p−a)(p−b)(p−c).
Ví dụ:
a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và A^=600.
b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm.
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:
S = 12bc sin A = 12.14.35.sin 60° = 12.14.35.32=24532(cm2).
Vậy diện tích tam giác ABC là: 24532 cm2.
b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: p=a+b+c2=4+5+32=122=6 (cm).
Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là:
S =p(p−a)(p−b)(p−c)=6.(6−4).(6−5).(6−3)=36=6(cm2).
Mặt khác: S = abc4R ⇒ R = abc4S= 4.5.34.6=52=2,5 (cm).
Ta có: S = pr ⇒ r = Sp = 66 = 1 (cm).
Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm2, bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.
B. Bài tập tự luyện
B1. Bài tập tự luận
Bài 1. Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm.
Hướng dẫn giải
Ta có p=a+b+c2=12+15+232=502=25 (cm).
Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có:
S = p(p−a)(p−b)(p−c)
S =25.(25−12).(25−15).(25−23)=6500≈80,62 (cm2).
Vậy diện tích tam giác ABC là 80,62 cm2.
Bài 2. Cho A=3sinα−cosαsinα+cosα và tan α = 2. Chứng minh A=7−42.
Hướng dẫn giải
Ta có tanα=sinαcosα=2⇒sinα=2cosα
Suy ra A=3sinα−cosαsinα+cosα
=32cosα−cosα2cosα+cosα
=(32−1)cosα(2+1)cosα
=32−12+1=32−12−12+12−1=7−42
Vậy A= 7 - 42.
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 3sin150° + tan135° + cot45°
b) cot135° - tan60°. cos230°
Hướng dẫn giải
a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45°
= 3.sin(180° - 30°) + tan(180° - 45°) + cot 45°
= 3.sin30° - tan45° + cot45°
= 3 . 12 + (-1) + 1 = 32.
b) cot 135° - tan 60°. cos2 30°
= cot(180° - 45°) - tan60°.cos230°
= - cot45° - tan60°.cos230°
= (- 1) - 3.322= −4+334.
Bài 4. Cho góc α, biết sin α = 22. Tính giá trị của biểu thức A = 4sin2 α + 3cos2 α.
Hướng dẫn giải
Ta có:
A = 4sin2 α + 3cos2 α = (3sin2 α + 3cos2 α) + sin2 α = 3 (sin2 α + cos2 α) + sin2 α
Vì cos2 α + sin 2 α = 1 và sin α = 22.
Thay vào A ta có: A = 3. 1 + 222 = 72;
Vậy A = 72.
Bài 5. Một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo bởi hai con đường là góc A bằng 120° và khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos A = 32 + 42 - 2. 3. 4 . cos 120° = 37.
⇒ BC = 37 ≈ 6,08 (km).
Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km.
Bài 6. Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, B^=60°. (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A và C làm tròn đến độ).
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
AC2 = AB2 + BC2 - 2. AB. BC . cos B
= 152 + 352 - 2. 15. 35. cos 60° = 925.
Do đó AC = 925 ≈ 30,4.
Mặt khác:
BC2 = AB2 + AC2 - 2. AB. AC . cos A
⇒ cos A = AB2+AC2−BC22.AB.AC= 152+925−3522.15.925≈−0,08.
⇒ A^≈95°
⇒ C^=180°−(A^+B^)≈180°−(95°+60°)=25°
Vậy tam giác ABC có:
A^≈95°; B^=60°; C^≈25°.
AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35.
B2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1. Nếu 3cosx + 2 sinx = 2 và sinx < 0 thì giá trị đúng của
sinx là:
A. −513;
B. −713;
C. −913;
D. −1213.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: 3cosx + 2 sinx = 2
⇔(3cosx + 2 sinx)2 = 4
⇔9cos2x + 12cosx.sinx + 4sin2x = 4(sin2x + cos2x)
⇔5cos2x + 12cosx.sinx = 0
⇔cosx(5cosx + 12sinx) = 0
⇔cosx=05cosx+12sinx=0
Với cosx = 0⇒ sinx = 1 loại vì sinx < 0.
Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: 5cosx+12sinx=03cosx+2sinx=2⇔sinx=−513cosx=1213.
Vậy sinx=−513.
Bài 2. Biết tanα = 2, giá trị của biểu thức M=3sinα−2cosα5cosα+7sinα
bằng:
A. −49;
B. 419;
C. −419;
D. 49.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cách 1: Vì cos α ≠ 0 nên chia cả tử và mẫu của M cho cosα ta có:
M=3sinαcosα−25+7sinαcosα=3.tanα−25+7.tanα=3.2−25+7.2=419.
Cách 2: Ta có: tanα=2⇔sinαcosα=2cosα≠0⇔sinα=2cosα, thay sinα = 2cosα vào M ta được M=3.2cosα−2cosα5cosα+7.2cosα=4cosα19cosα=419.
Bài 3. Cho cosα=−45 và góc α thỏa mãn 90° < α < 180°. Khi
đó.
A. cotα=43;
B. sinα=35;
C. tanα=45.
D. sinα=−35.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có sin2α + cos2α = 1
⇔ sin2α = 1 - cos2α = 1 - −452= 1 - 1625= 925.
⇔ sinα=35sinα=−35
Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0. Do đó sinα=35
⇒ tanα = sinαcosα=−34, cotα = cosαsinα=−43.
Vậy đáp án đúng là B.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết Ôn tập chương 2
Lý thuyết Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180
Lý thuyết Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác