Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Học kì 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết bám sát nội dung từng bài học sgk Toán 12 Tập 2 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Chân trời sáng tạo Học kì 2
(199k) Xem Khóa học Toán 12 CTST
(199k) Xem Khóa học Toán 12 CTST
Lý thuyết Nguyên hàm - Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Nguyên hàm
1. Khái niệm nguyên hàm
• Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ℝ.
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số F(x) = x44+x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 + 1 trên ℝ.
Hướng dẫn giải
Ta có F'(x) = x44+x'=x3+1 = f(x) với mọi x ∈ ℝ.
Vậy hàm số F(x) = x44+x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 + 1 trên ℝ.
• Định lí: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
+ Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;
+ Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số. Ta gọi F(x) + C, C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu ∫fxdx và viết
∫fxdx = F(x) + C.
Chú ý: Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
Ví dụ 2. Tìm ∫cosxdx trên ℝ.
Hướng dẫn giải
Vì (sin x)' = cos x với mọi x thuộc ℝ nên F(x) = sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.
Vậy ∫cosxdx = sin x + C trên ℝ.
Chú ý:
+ Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng K thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.
+ Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có: ∫f'xdx=fx+C.
2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
2.1. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Chú ý: Người ta thường viết ∫dx thay cho ∫1dx.
Ví dụ 3. Tìm:
Hướng dẫn giải
2.2. Nguyên hàm của hàm số y = 1x
• Ta có: ∫1xdx=lnx+C .
Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) = 1x với x ≠ 0.
Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(3) = 1.
Hướng dẫn giải
Ta có ∫1xdx=lnx+C nên F(x) = ln|x| + C (x ≠ 0).
Do F(3) = 1 nên ln|3| + C = 1 hay C = 1 - ln3.
Vậy F(x) = ln|x| + 1 - ln3 (x ≠ 0).
2.3. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x thỏa mãn F(0) + Fπ2 = 0.
Hướng dẫn giải
Vì ∫sinxdx=−cosx+C nên F(x) = - cos x + C.
Do F(0) + Fπ2 = 0 nên (- cos 0 + C) + (- cos π2 + C) = 0, suy ra C = 12 .
Vậy F(x) = - cos x + 12 .
2.4. Nguyên hàm của hàm số mũ
• ∫exdx=ex+C;
• ∫axdx=axlna+C (a > 0, a ≠ 1).
Ví dụ 6. Tìm:
a) ∫4xdx;
b) ∫e3xdx .
Hướng dẫn giải
a) ∫4xdx=4xln4+C.
b) ∫e3xdx=∫e3xdx=e3xlne3+C=e3x3+C .
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
• Tính chất 1. Nguyên hàm của tích một số với một hàm số
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, ta có:
∫kfxdx=k∫fxdx, với k ∈ ℝ, k ≠ 0.
Ví dụ 7. Tìm:
a) ∫49xdx ;
b) ∫5sinxdx .
Hướng dẫn giải
a)∫49xdx =49∫1xdx=49lnx+C .
b) ∫5sinxdx =5∫sinxdx=−5cosx+C.
• Tính chất 2. Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số
Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, ta có:
∫fx+gxdx=∫fxdx+∫gxdx
∫fx−gxdx=∫fxdx−∫gxdx
Ví dụ 8. Tìm ∫4x3−4x+5dx.
Hướng dẫn giải
Ta có: ∫4x3−4x+5dx=4∫x3dx−4∫xdx+5∫dx
= x4 - 2x2 + 5x + C.
................................
................................
................................
(199k) Xem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm đề thi lớp 12 các môn học có đáp án hay khác:
Đề ôn thi Tốt nghiệp (các môn học), ĐGNL, ĐGTD các trường có đáp án hay khác:
Tài liệu giáo án lớp 12 các môn học chuẩn khác:
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:
- Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
- Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)