Định lý con bướm

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Gọi X ′ {displaystyle X'} và X ″ {displaystyle X''} lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi Y ′ {displaystyle Y'} và Y ″ {displaystyle Y''} lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Do

△ M X X ′ ∼ △ M Y Y ′ {displaystyle triangle MXX'sim triangle MYY'} M X M Y = X X ′ Y Y ′ {displaystyle {MX over MY}={XX' over YY'}} △ M X X ″ ∼ △ M Y Y ″ {displaystyle triangle MXX''sim triangle MYY''} M X M Y = X X ″ Y Y ″ {displaystyle {MX over MY}={XX'' over YY''}} △ A X X ′ ∼ △ C Y Y ″ {displaystyle triangle AXX'sim triangle CYY''} X X ′ Y Y ″ = A X C Y {displaystyle {XX' over YY''}={AX over CY}} △ D X X ″ ∼ △ B Y Y ′ {displaystyle triangle DXX''sim triangle BYY'} X X ″ Y Y ″ = D X B Y {displaystyle {XX'' over YY''}={DX over BY}}

Từ các đẳng thức trên, ta có

( M X M Y ) 2 = X X ′ Y Y ′ . X X ″ Y Y ″ = A X . D X C Y . B Y {displaystyle left({MX over MY}right)^{2}={XX' over YY'}.{XX'' over YY''}={AX.DX over CY.BY}} = P X . Q X P Y . Q Y {displaystyle ={PX.QX over PY.QY}} (xem Phương tích) = ( P M − X M ) . ( M Q + X M ) ( P M + M Y ) . ( Q M − M Y ) = P M 2 − M X 2 P M 2 − M Y 2 {displaystyle ={(PM-XM).(MQ+XM) over (PM+MY).(QM-MY)}={PM^{2}-MX^{2} over PM^{2}-MY^{2}}} (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

M X 2 M Y 2 = P M 2 − M X 2 P M 2 − M Y 2 = P M 2 P M 2 = 1 {displaystyle {MX^{2} over MY^{2}}={PM^{2}-MX^{2} over PM^{2}-MY^{2}}={PM^{2} over PM^{2}}=1}

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.

• Định lý con bướm tại Cut-The-Knot.
• Một định lý con bướm tổng quát hơn tại Cut-The-Knot.
• Chứng minh Định lý con bướm tại PlanetMath.
• Weisstein, Eric W., "Butterfly Theorem" từ MathWorld.