Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9

1. Một số kiến thức cần nhớ để giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9

1.1. Kiến thức số học thường dùng

Kiến thức số học thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên

1.2. Lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên lớp 9 cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,... để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn.

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9 thường dùng là:

n
Phương pháp cô lập một ẩnn
Phương pháp đưa về ước sốn
Phương pháp đánh gián
Phương pháp đưa hai vế về tổng các bình phươngn
Phương pháp sử dụng các tính chất của số chính phươngn
Phương pháp sử dụng tính chất của phương trình bậc hain
Phương pháp lùi dần vô hạnn

[%Included.Dangky.Hoctot.Toan9.baitap%]

[%Included.Lớp 9%]

2. Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9

2.1. Phương pháp 1: Cô lập một ẩn

Phương pháp giải
n
Bước 1: Xét tính chia hết của từng số hạng, rút một ẩn, tính theo ẩn còn lại.n
Bước 2: Biện luận để phương trình có nghiệm nguyên.n
Bước 3: Tìm nghiệm nguyên.n
Bước 4: Kết luận.n

Bài tập minh họa

Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy - 2x + y = 5

Hướng dẫn giải

2.2. Phương pháp 2: Phương pháp đưa về ước số

Phương pháp giải
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x; y).g(x; y) = a
Bước 2: Xét f(x; y), g(x; y) là các ước nguyên của a
Bước 3: Tìm x, y
Bước 4: Kết luận

Bài tập minh họa

Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy - 2x + y = 5

Hướng dẫn giải

2.3. Phương pháp 3: Phương pháp đánh giá

Phương pháp giải
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x; y) = g(x)
Bước 2: Chứng minh f(x; y) ≥ g(x) hoặc f(x; y) ≤ g(x)
Bước 3: Xác định dấu “=” xảy ra khi nào
Bước 4: Kết luận.

Bài tập minh họa

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y

Hướng dẫn giải

2.4. Phương pháp 4: Đưa hai vế về tổng các bình phương

Phương pháp giải: Biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương và vế phải là tổng của các số chính phương.

Bài tập minh họa

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 - x - y = 8

Hướng dẫn giải

2.5. Phương pháp 5: Sử dụng các tính chất của số chính phương

Một số tính chất của số chính phương thường được dùng trong giải phương trình nghiệm nguyên:
n
Một số tính chất về chia hết của số chính phương.n
Nếu a2 < n < (a + 1)2 với a là số nguyên thì n không thể là số chính phương.n
Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương.n
Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó bằng 0.n

Bài tập minh họa

Tồn tại hay không số nguyên dương x sao cho với k là số nguyên thì ta có x(x + 1) = k(k + 2)

Hướng dẫn giải

2.6. Phương pháp 6: Sử dụng tính chất của phương trình bậc hai

Phương pháp giải: Quy phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn, các ẩn còn lại đóng vai trò tham số.
Khi đó, các tính chất của phương trình bậc hai thường được sử dụng dưới các dạng như sau:
n
Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 của phương trình bậc hai.n
Sử dụng hệ thức Vi - et.n
Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.n

Bài tập minh họa

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = x2 + y2

Hướng dẫn giải

2.7. Phương pháp 7: Phương pháp lùi dần vô hạn

Phương pháp giải
n
Giả sử(x0; y0; z0) là nghiệm của f(x; y; z) = 0. n
Nhờ những biến đổi và suy luận số học ta tìm được một nghiệm khác (x1; y1; z1) sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi một tỉ sốk nào đó, chẳng hạn x0 = kx1; y0 = ky1; z0 = kz1.n
Lập luận tương tự ta lại được bộ số nguyên (x2; y2; z2) thỏa mãn x1 = kx2; y1 = ky2; z1 = kz2.n
Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến x0; y0; z0 cùng chia hết cho kn với n là một số tự nhiên tuỳ ý.n
Điều này xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0.n

Bài tập minh họa

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x3 + 2y3 = 4z3

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

Từ phương trình đã cho ta phát hiện ra các biến x, y, z cùng chia hết cho 2. Khi đó thực hiện phép đặt x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1 và thay vào phương trình ban đầu ta được:

x13 + 2y13 = 4z13

Từ phương trình này lại thấy các biến x1; y1; z1 cũng chia hết cho 2. Từ đó ta được x; y; z cùng chia hết cho 22.

Quá trình được thực hiện như vậy liên tục thì ta được x; y; z cùng chia hết cho k2 với k là số nguyên dương bất kì.

Từ đây ta suy ra được x = y = z = 0.

3. Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9 trên TAK12

Để đồng hành ôn tập các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên cùng học sinh, TAK12 đã biên soạn phần học ôn phương trình nghiệm nguyên lớp 9 gồm slide bài giảng tổng hợp kiến thức phần nội dung này, đi kèm với đó là các bài tập thực hành có lời giải chi tiết.

Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9

Ngoài ra, học sinh có thể thực hành thêm các bài tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9 tại phần Luyện chủ điểm. Đặc biệt, khi mua gói PRO tổng ôn toán vào lớp 10 để học và ôn luyện các chủ điểm toán học, học sinh được khai thác không giới hạn các tính năng sau:

n
Xem giải thích đáp án chi tiết với từng câu hỏin
Tải bản pdf của mỗi đề thi để ôn luyện thêmn
Làm không giới hạn bài tập, đề thi trong ngân hàng câu hỏin

Nội dung vừa rồi đã chia sẻ kiến thức cần nhớ, các phương pháp và phần bài tập ôn luyện giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9. Mong rằng qua những thông tin TAK12 vừa chia sẻ trên, học sinh đã có những thông tin hữu ích trong quá trình học toán 9 và ôn tập toán vào 10.

? Gợi ý các phần mềm học tập và ôn thi hiệu quả cho học sinh lớp 9

[%Included.Hoctotlop9%]

[%Included.TAK12%]

","startDateUtc":"2024-08-02T10:00:00","startDate":"2024-08-02T17:00:00+07:00","allowComments":false,"createdOnUtc":"2024-07-04T01:37:10.3641866","createdOn":"2024-07-04T08:37:10.3641866+07:00","lastUpdatedTimeUtc":"2026-04-24T07:23:21.157","lastUpdatedTime":"2026-04-24T14:23:21.157+07:00","author":"","readCount":0,"newsTags":[{"name":"Toán lớp 9","seName":"toan-lop-9","id":1853}],"publishedDate":"2024-08-02T17:00:00+07:00","metaKeywords":"phương trình nghiệm nguyên lớp 9","metaDescription":"Trong bài viết sau đây, TAK12 sẽ chia sẻ kiến thức cần nhớ để giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9, đi kèm các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên phổ biến và bài tập vận dụng. Cùng theo dõi nhé!","metaTitle":"Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9","isShowSignInForm":true,"articleSchema":"{"@context":"https://schema.org","@type":"Article","headline":"Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9","name":"Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9","description":"Trong bài viết sau đây, TAK12 sẽ chia sẻ kiến thức cần nhớ để giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9, đi kèm các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên phổ biến và bài tập vận dụng. Cùng theo dõi nhé!","image":["https://tak12.com/Upload/News/638556837562210536_%C3%94n%20t%E1%BA%ADp%20ph%C6%B0%C6%A1ng%20tr%C3%ACnh%20nghi%E1%BB%87m%20nguy%C3%AAn%20l%E1%BB%9Bp%209.jpg"],"datePublished":"2024-08-02T03:00:00Z","dateModified":"2026-04-24T00:23:21Z","author":{"@type":"Organization","name":"TAK12","url":"https://tak12.com"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"TAK12","url":"https://tak12.com","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https://tak12.com/logo.png"}},"mainEntityOfPage":{"@type":"WebPage","@id":"https://tak12.com/news/n/1882/on-tap-phuong-trinh-nghiem-nguyen-lop-9"},"inLanguage":"vi-VN"}","authorId":null,"authorInfo":null,"authorHtmlTemplate":null,"id":1882};

Giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9 là một trong những dạng bài thường gặp khi học toán lớp 9. Hiểu rõ về phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên sẽ giúp học sinh có thể thực hành tốt các bài toán từ cơ bản đến nâng cao, cũng như để chuẩn bị ôn thi chuyển cấp vào lớp 10. Bài viết sau đây TAK12 sẽ chia sẻ kiến thức cần nhớ để giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9, đi kèm các phương pháp giải và bài tập vận dụng. Cùng theo dõi nhé!

1. Một số kiến thức cần nhớ để giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9

1.1. Kiến thức số học thường dùng

Kiến thức số học thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên

1.2. Lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9 thường dùng là:

Phương pháp cô lập một ẩn
Phương pháp đưa về ước số
Phương pháp đánh giá
Phương pháp đưa hai vế về tổng các bình phương
Phương pháp sử dụng các tính chất của số chính phương
Phương pháp sử dụng tính chất của phương trình bậc hai
Phương pháp lùi dần vô hạn

[%Included.Dangky.Hoctot.Toan9.baitap%]

[%Included.Lớp 9%]

2. Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên lớp 9

2.1. Phương pháp 1: Cô lập một ẩn

Phương pháp giải

Bước 1: Xét tính chia hết của từng số hạng, rút một ẩn, tính theo ẩn còn lại.

Bước 2: Biện luận để phương trình có nghiệm nguyên.

Bước 3: Tìm nghiệm nguyên.

Bước 4: Kết luận.

Bài tập minh họa

Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy - 2x + y = 5

Hướng dẫn giải

2.2. Phương pháp 2: Phương pháp đưa về ước số

Phương pháp giải

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x; y).g(x; y) = a

Bước 2: Xét f(x; y), g(x; y) là các ước nguyên của a

Bước 3: Tìm x, y

Bước 4: Kết luận

Bài tập minh họa

Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy - 2x + y = 5

Hướng dẫn giải

2.3. Phương pháp 3: Phương pháp đánh giá

Phương pháp giải

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x; y) = g(x)

Bước 2: Chứng minh f(x; y) ≥ g(x) hoặc f(x; y) ≤ g(x)

Bước 3: Xác định dấu “=” xảy ra khi nào

Bước 4: Kết luận.

Bài tập minh họa

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y

Hướng dẫn giải

2.4. Phương pháp 4: Đưa hai vế về tổng các bình phương

Phương pháp giải: Biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương và vế phải là tổng của các số chính phương.

Bài tập minh họa

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 - x - y = 8

Hướng dẫn giải

2.5. Phương pháp 5: Sử dụng các tính chất của số chính phương

Một số tính chất của số chính phương thường được dùng trong giải phương trình nghiệm nguyên:

Một số tính chất về chia hết của số chính phương.

Nếu a2 < n < (a + 1)2 với a là số nguyên thì n không thể là số chính phương.

Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương.

Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó bằng 0.

Bài tập minh họa

Tồn tại hay không số nguyên dương x sao cho với k là số nguyên thì ta có x(x + 1) = k(k + 2)

Hướng dẫn giải

2.6. Phương pháp 6: Sử dụng tính chất của phương trình bậc hai

Phương pháp giải: Quy phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn, các ẩn còn lại đóng vai trò tham số.

Khi đó, các tính chất của phương trình bậc hai thường được sử dụng dưới các dạng như sau:

Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 của phương trình bậc hai.

Sử dụng hệ thức Vi - et.

Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

Bài tập minh họa

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = x2 + y2

Hướng dẫn giải

2.7. Phương pháp 7: Phương pháp lùi dần vô hạn

Phương pháp giải

Giả sử(x0; y0; z0) là nghiệm của f(x; y; z) = 0.

Nhờ những biến đổi và suy luận số học ta tìm được một nghiệm khác (x1; y1; z1) sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi một tỉ sốk nào đó, chẳng hạn x0 = kx1; y0 = ky1; z0 = kz1.

Lập luận tương tự ta lại được bộ số nguyên (x2; y2; z2) thỏa mãn x1 = kx2; y1 = ky2; z1 = kz2.

Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến x0; y0; z0 cùng chia hết cho kn với n là một số tự nhiên tuỳ ý.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0.

Bài tập minh họa

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x3 + 2y3 = 4z3

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

x13 + 2y13 = 4z13

Từ phương trình này lại thấy các biến x1; y1; z1 cũng chia hết cho 2. Từ đó ta được x; y; z cùng chia hết cho 22.

Quá trình được thực hiện như vậy liên tục thì ta được x; y; z cùng chia hết cho k2 với k là số nguyên dương bất kì.

Từ đây ta suy ra được x = y = z = 0.

3. Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9 trên TAK12

Ôn tập phương trình nghiệm nguyên lớp 9

Xem giải thích đáp án chi tiết với từng câu hỏi
Tải bản pdf của mỗi đề thi để ôn luyện thêm
Làm không giới hạn bài tập, đề thi trong ngân hàng câu hỏi

? Gợi ý các phần mềm học tập và ôn thi hiệu quả cho học sinh lớp 9

[%Included.Hoctotlop9%]

[%Included.TAK12%]